一道IMO题目的经典构造

今天给学生讲了1977年IMO的第2题：

若自然数𝑛满足如下条件：存在由𝑛个实数组成的数列，使得任意连续7项之和为负，任意连续11项之和为正．求𝑛的最大值．

首先容易得到𝑛的一个上界77，这是因为如果𝑛≥77，则取数列的前77项，并进行分组求和：

公式：\begin{align*} S_{77}=&(a_1+a_2+\cdots+a_7)\\ &+(a_8+a_9+\cdots+a_{14})\\ &+\cdots\\ &+(a_{71}+a_{72}+\cdots+a_{77}) \end{align*}

上式的每一个括号均为负，故𝑆_(77)为负．

同样的，

公式：\begin{align*} S_{77}=&(a_1+a_2+\cdots+a_{11})\\ &+(a_{12}+a_{13}+\cdots+a_{22})\\ &+\cdots\\ &+(a_{67}+a_{68}+\cdots+a_{77}) \end{align*}

上式的每一个括号均为正，故𝑆_(77)为正．

这两者是矛盾的，于是𝑛<77．

上面的分组方式可以进行改进，将𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(17)按照下表排布：

公式：\begin{array}{cccc} a_1 & a_2 & \cdots &a_{11}\\ a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{12}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ a_{7} & a_{8} & \cdots &a_{17} \end{array}

注意到上表中每一行为连续11个数之和，每一列为连续7个数之和．故计算上表所有数之和时，若按行计算，则总和为正；若按列计算，则总和为负．因此矛盾，于是𝑛<17．

下面我们给出𝑛=16的构造，为方便处理连续𝑘项之和，我们设{𝑎_(𝑛)}的部分和数列{𝑆_(𝑛)}：

并定义𝑆_(0)=0．

于是由任意连续11项之和为正知：𝑆_(𝑘+11)−𝑆_(𝑘)>0，即𝑆_(𝑘+11)>𝑆_(𝑘)．

由任意连续7项之和为负知：𝑆_(𝑘+7)−𝑆_(𝑘)<0，即𝑆_(𝑘+7)<𝑆_(𝑘)．

从𝑆_(0)出发，得到下面两串不等式链：

公式：\begin{align*} S_0< S_{11}< S_{4}< S_{15}< S_{8}< S_1< S_{12}\\ < S_5< S_{16}< S_9< S_2< S_{13}< S_6 \end{align*}

上面两个不等式链中恰好出现𝑆_(0)到𝑆_(16)的所有数．接下来按照大小顺序进行赋值即可．

由𝑆_(0)=0可令𝑆_(11)=1，𝑆_(4)=2，𝑆_(15)=3，𝑆_(8)=4，𝑆_(1)=5，𝑆_(12)=6，𝑆_(5)=7，𝑆_(16)=8，𝑆_(9)=9，𝑆_(2)=10，𝑆_(13)=11，𝑆_(6)=12，𝑆_(7)=−1，𝑆_(14)=−2，𝑆_(3)=−3，𝑆_(10)=−4．

由此求得：𝑎_(1)=5，𝑎_(2)=5，𝑎_(3)=−13，𝑎_(4)=5，𝑎_(5)=5，𝑎_(6)=5，𝑎_(7)=−13，𝑎_(8)=5，𝑎_(9)=5，𝑎_(10)=−13，𝑎_(11)=5，𝑎_(12)=5，𝑎_(13)=5，𝑎_(14)=−13，𝑎_(15)=5，𝑎_(16)=5．

容易发现，上述数列中任意连续7项中均有5个5和2个−13，和为−1；任意连续11项中均有8个5和3个−13，和为1．

上述将数列中连续𝑘项之和转化为部分和数列之差的方法是非常常见的，比如初中小蓝本《组合趣题》书上的一道例题：

一个大学生在去年暑假用了𝑘天学习高等数学，并遵循如下规则：

1. 每天至少学习1小时；
2. 每天按整小时学，且最多学12小时；
3. 全部学习时间不超过60小时．

求𝑘的最小值，使得该大学生在此期间一定存在连续的若干天，学习高等数学的时间总和为13小时．