2021年陈省身杯数学奥林匹克

本次比赛分两天进行，时间为2021年7月24日和7月25日的18:00-21:00．

第一天

1. 已知非等腰锐角△𝐴𝐵𝐶的三条高线分别为𝐴𝐷，𝐵𝐸，𝐶𝐹，其中，𝐷，𝐸，𝐹分别为垂足．△𝐴𝐸𝐹，△𝐵𝐹𝐷，△𝐶𝐷的外接圆与△𝐴𝐵𝐶的外接圆⊙𝑂的第二个交点分别为𝐴_(1)，𝐵_(1)，𝐶_(1)，𝐴_(1)𝐷，𝐵_(1)𝐸，𝐶_(1)𝐹与⊙𝑂的第二个交点分别为𝐴_(2)，𝐵_(2)，𝐶_(2)，证明：
   （1）𝐴𝐴_(2)，𝐵𝐵_(2)，𝐶𝐶_(2)三线交于一点；
   （2）公式：AA_2^2+BB_2^2+CC_2^2\geq \dfrac{4(ab+bc+ca)^2}{3(a^2+b^2+c^2)}，其中𝑎=𝐵𝐶，𝑏=𝐶𝐴，𝑐=𝐴𝐵．

2. 给定正整数𝑛≥2，𝑛个实数𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(𝑛)满足：

公式：\min_{1\leq k\leq n}\left\{\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_k}{k}\right\}=0

公式：\max_{1\leq k\leq n}\left\{\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_k}{k}\right\}=1

记𝑀=max_(1≤𝑖≤𝑛){𝑥_(𝑖)}，𝑚=min_(1≤𝑖≤𝑛){𝑥_(𝑖)}．求min{𝑀−𝑚}，max{𝑀−𝑚}．

3. 2021个单位正方形排成一行，其中最左侧和最右侧正方形均为黑色，其余2019个正方形均为白色．随机选取两个相邻白色正方形，并随机将一个正方形染成黑色，重复此过程，直至无两个相邻白色正方形为止．令𝐸是剩余白色正方形数目的数学期望．求不超过𝐸的最大正整数[𝐸]．

4. 称4个单位正方形组成的图为T形块，图为S形块．用若干个S形块和若干个T形块不重叠地覆盖一个8×10的长方形棋盘，且两种形状都可以旋转或翻转，则其中T形块至少有多少个？

第二天

5. 已知非等腰锐角△𝐴𝐵𝐶的内心为𝐼，边𝐵𝐶，𝐶𝐴，𝐴𝐵的中点分别为𝐴^(′)，𝐵^(′)，𝐶^(′)，∠𝐴，∠𝐵，∠𝐶内的旁切圆分别为⊙𝐼_(1)，⊙𝐼_(2)，⊙𝐼_(3)．⊙𝐼_(1)，⊙𝐼_(2)，⊙𝐼_(3)关于点𝐴^(′)，𝐵^(′)，𝐶^(′)分别对称的圆为⊙𝐼′1，⊙𝐼′2，⊙𝐼′3，⊙𝐼_(1)，⊙𝐼_(2)，⊙𝐼_(3)的根心为𝑃，⊙𝐼′1，⊙𝐼′2，⊙𝐼′3的根心为𝑄，证明𝑃是线段𝐼𝑄的中点．

6. 求证：

   公式：\dfrac{1}{\sqrt[3]{\cos\dfrac{\pi}{9}}}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{9}}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{\cos\dfrac{5\pi}{9}}}=\sqrt[3]{6-6\sqrt[3]9}．

7. 对于正整数𝑛，定义𝑆_(2)(𝑛)为𝑛在二进制表示下的各位数码之和（例如𝑆_(2)(13)=1+1+0+1=3）．设公式：T=\sum\limits_{k=1}^{2021}(-1)^{S_2(k)}k^3，请确定𝑇除以2021的余数．

8. 有𝑛名数学家参加一次会议，每名数学家在其中恰有3个朋友（朋友关系数相互的）．现在任意安排若干名数学家坐在圆桌旁讨论问题，结果发现，如果每个人两侧都坐着自己的朋友，则这一桌的人数不少于7．求𝑛的最小可能值．