2021年北京市中学生数学竞赛高一年级试题

来源：【全网首发】2021高一数学竞赛全卷详解

2021年北京市中学生数学竞赛高一年级试题

2021年5月16日8:30~10:30

一、填空题（满分40分，每小题8分）

1. 设𝐴={1,2,3,4}，𝐵⊆{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．已知𝐴⋂𝐵=∅，则𝐵有______种可能．
2. 向量𝑎^(→)、𝑏^(→)、𝑐^(→)满足𝑎^(→)≠𝑏^(→)，𝑐^(→)≠0^(→)，(𝑐^(→)−𝑎^(→))⋅(𝑐^(→)−𝑏^(→))=0．则(|𝑐^(→)|)/(|𝑎^(→)+𝑏^(→)|+|𝑎^(→)−𝑏^(→)|)的最大值为______．
3. 方程𝑥^(2)−4|𝑥|+5=𝑘（𝑘∈ℝ）恰有四个不等实根，则𝑘的取值范围为______．
4. 在正△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝑀为𝐵𝐶边上的高．点𝑃、𝑄分别从𝐴、𝐶出发，沿𝐴𝑀、𝐶𝐴以相同的速度匀速运动．当𝑃𝐵+𝑄𝐵取最小值时，∠𝑃𝐵𝑄的值为______．
5. 已知𝑓:ℤ→ℤ的定义域为{1,2,3,4,5}，值域包含于{1,2,3,4}．若𝑓(3)被𝑓(5)整除，则函数𝑓共有______种不同的情况．

二、（满分15分）记公式：m=7997\times 7999^3-7998\times 7996^3，求√(𝑚,3)．

三、（满分15分）已知𝑝(𝑝>5)为质数，去掉(1)/(𝑝)小数点后的第2020位数字，得到(𝑎)/(𝑏)（𝑎与𝑏为互质的正整数．求证：𝑝∣𝑏．

四、（满分15分）𝐺为正△𝐴𝐵𝐶的重心，𝑃为形内任意一点．记𝐴𝐵=𝑎，𝐺𝑃=𝑑，又以𝑃𝐴、𝑃𝐵、𝑃𝐶为边的三角形面积为𝑆．求证：𝑆=(√(3))/(12)(𝑎^(2)−3𝑑^(2))．

五、（满分15分）函数𝑓:ℤ→ℤ满足𝑓(𝑥+𝑦)=𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦)+4𝑥𝑦，𝑓(−1)⋅𝑓(1)≥4．求𝑓(𝑥)．