2021年全国高中数学联赛（四川预赛）试题

2021年全国高中数学联赛

（四川预赛）试题

考试时间：2021年5月23日 14:30−16:30

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．

1. 过抛物线𝑦=𝑥^(2)上两点𝐴(1,𝑦_(1))，𝐵(𝑥_(2),𝑦_(2))分别作抛物线的切线𝑙_(1),𝑙_(2)，𝑙_(1)与𝑙_(2)交于点𝐶．若𝐴𝐶^(→−)⋅𝐵𝐶^(→−)=0，则𝑥_(2)=__________．
2. 已知在凸五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸中，𝐷𝐸∥𝐴𝐶，∠𝐴𝐷𝐶=90^(∘)，𝐴𝐶=12，𝐶𝐷=6，𝐴𝐶平分∠𝐷𝐴𝐵，∠𝐵𝐶𝐸=60^(∘)．则△𝐵𝐶𝐸面积的最小值为__________．
3. 已知在三棱锥𝐷−𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐵𝐷=90^(∘)，𝐶𝐴=𝐶𝐵，∠𝐵𝐴𝐷=30^(∘)．若点𝐶在平面𝐴𝐵𝐷上的射影恰好在𝐴𝐷上，则二面角𝐶−𝐴𝐵−𝐷的平面角的正弦值大小为__________．
4. 设𝑥,𝑦,𝑧为正实数，公式：M=\max\{xy+\dfrac{2}{z},z+\dfrac{2}{y},y+z+\dfrac{1}{x}\}．则𝑀的最小值为__________．
5. 设函数𝑓(𝑥)=𝑥−ln(𝑎𝑥+2𝑎+1)+2．若对于任意𝑥≥−2，均有𝑓(𝑥)≥0恒成立，则实数𝑎的取值范围为__________．
6. 公式：\sum\limits_{k=0}^{2022}C_{2022}^{k}\cos\dfrac{(1011-k)\pi}{2}的值为__________．
7. 设集合𝑇={(𝑎,𝑏,𝑐)|𝑎,𝑏,𝑐∈ℕ^(∗)，且𝑎,𝑏,𝑐可构成某个三角形的三边长}．则∑_((𝑎,𝑏,𝑐)∈𝑇)(2^(𝑎))/(3^(𝑏)⋯5^(𝑐))的值为__________．
8. 在一个3×3的方格表中，若9个小方格中的每一个均被染成红、黄、蓝、紫四种颜色之一，任意两个有公共边的小方格的染色均不相同，且该方格表中恰有2个小方格染蓝色，则符合条件的染色方法种数为__________．（用具体数字作答）

二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9. （本题满分16分）已知椭圆Γ:(𝑥^(2))/(𝑎^(2))+(𝑦^(2))/(𝑏^(2))=1(𝑎>𝑏>0)的两顶点为𝐴(−2,0)，𝐵(2,0)，离心率为(1)/(2)．点𝑃（不同于𝐴、𝐵）在椭圆Γ上，点𝐷的坐标为(−4,0)，𝐷𝐸^(→−)=(3)/(5)𝐷𝑃^(→−)，直线𝐴𝑃与𝐵𝐸交于点𝑄．求点𝑄的轨迹方程．
10. （本题满分20分）给定正整数𝑎，𝑏，其中𝑎<𝑏．数列{𝐹_(𝑛)}满足：𝐹_(1)=𝑎，𝐹_(2)=𝑏，𝐹_(𝑛+2)=𝐹_(𝑛+1)+𝐹_(𝑛)(𝑛∈ℕ^(∗))，若不存在无穷多个正整数𝑘，使得1+𝑚𝐹_(𝑘)𝐹_(𝑘+2)为完全平方数，则称𝑚具有性质𝑃．求证：存在无穷多个正整数𝑚具有性质𝑃．
11. （本题满分20分）求最大的正整数𝑛，使得对满足∏_(𝑖=1)^(𝑛)𝑎_(𝑖)=1的任意正实数𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛)，均有

    公式：\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{a_i}{a_{i+1}}+\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{a_{i+1}}{a_i}\geq 2\sum\limits_{i=1}^na_i

    恒成立，其中𝑎_(𝑛+1)=𝑎_(1)．