一个三元不等式

分析1 首先当然是猜测取得最值的条件，代入几组特殊的(𝑎,𝑏,𝑐)，如(2,2,2)、(0,0,6)、(0,3,3)，得到原式的值依次为6√(2)、6、9．可以发现(2,2,2)并不是取得最值的条件．

进一步可以发现，(𝑎,𝑏,𝑐)=(0,3,3)时，√(𝑎^(2)+𝑏𝑐)、√(𝑏^(2)+𝑐𝑎)、√(𝑐^(2)+𝑎𝑏)的值均为3．于是大胆猜测，原式的最大值为9，在(𝑎,𝑏,𝑐)=(0,3,3)时取得等号．

接下来利用条件进行齐次化，变为下题：

分析2 这个不等式实属不易，一直没有思路正向破解．于是开始考虑取等条件(3,3,0)，设法利用好这个0，得到了下面的证法．

证明 由对称性不妨设𝑎≥𝑏≥𝑐．

于是

公式：\begin{align*} &\dfrac{3}{2}(a+b+c)\\ =&\dfrac{a+(a+c)+(a+b)+(2b+2c)}{2}\\ \geq&\sqrt{a(a+c)}+\sqrt{(a+b)(2b+2c)}\\ =&\sqrt{a^2+ac}+\sqrt{2(b^2+ca+bc+ab)}\\ \geq&\sqrt{a^2+ac}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{bc+ab}\\ \geq&\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab} \end{align*}

其中最后一步由𝑎≥𝑏≥𝑐得到了𝑎𝑐≥𝑏𝑐，𝑏𝑐≥𝑐^(2)．

证毕．

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