赛题翻译
系列：马其顿数学奥林匹克
2021年马其顿数学奥林匹克
公众号原标题：2021年马其顿数学奥林匹克——中文翻译（显示标题做过精简）
正文文字 316 字公式 68 处
数列(𝑎_(𝑛))+∞𝑛=1满足𝑎_(1)=1，且 𝑎_(𝑛+1)=1+∑_(𝑘=1)^(𝑛)𝑘𝑎_(𝑘) 求证：对任意𝑛>1，√(𝑎_(𝑛),𝑛)<(𝑛+1)/(2)．在一个岛屿城市中，有2021个由桥梁连接的岛屿．对于任意给定的一对岛屿𝐴和𝐵，都可以从𝐴通过若干桥梁到达𝐵．此外，对于任意四个岛屿𝐴_(1)，𝐴_(2)，𝐴_(3)和𝐴_(4)，如果对每个𝑖∈{1,2,3}，都存在一座从𝐴_(𝑖)到𝐴_(𝑖+1)的桥梁，则对于满足|𝑗−𝑘|=2的𝑗,𝑘∈{1,2,3,4}，𝐴_(𝑗)和𝐴_(𝑘)必被一座桥梁连接．求证：至少存在一个岛屿，它与其它所有岛屿均被桥梁连接． 在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中， 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 ，且∠𝐵𝐶𝐷<∠𝐴𝐵𝐶<90^(∘)．设𝐸为对角线𝐴𝐶和𝐵𝐷的交点．△𝐵𝐸𝐶的外接圆𝜔在𝑋处与线段𝐶𝐷相交．𝐴𝑋和𝐵𝐶交于点𝑌，𝐵𝑋和𝐴𝐷交于点𝑍．求证：𝐸𝑍和𝜔相切的充要条件为𝐵𝐸和△𝐵𝑋𝑌的外接圆相切． 对于固定的正整数𝑛≥3，给定一块𝑛×𝑛的木板，其上所有单位正方形在起始时都是白色的．将如下五个方格(𝑀,𝐿,𝑅,𝐴,𝐵)称作“浮动加号”：𝐿在𝑀的同一行，且在𝑀的左侧；𝑅在𝑀的同一行，且在𝑀的右侧；𝐴在𝑀的同一列，且在𝑀的上侧；𝐵在𝑀的同一列，且在𝑀的下侧．（均不要求相邻．）求最大的正整数𝑘（依赖于𝑛），将其中𝑘个单位正方形染成黑色后，不存在黑色的浮动加号． 数列(𝑥_(𝑛))+∞𝑛=1满足𝑥_(1)=(7)/(2)，𝑥_(𝑛+1)=𝑥_(𝑛)(𝑥_(𝑛)−2)．设𝑥_(2021)=(𝑎)/(𝑏)，其中𝑎,𝑏∈ℕ且互素．求证：若𝑝为𝑎的一个素因子，则3∣𝑝−1或𝑝=3．
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