Mathematical Reflections 2021年第三期征解题

初级组

J553． 求方程

J554． 正实数𝑥，𝑦，𝑧满足𝑥+𝑦+𝑧=𝑥𝑦𝑧．求证：

J555． 实数𝑎，𝑏，𝑐满足

求证：𝑎+𝑏+𝑐≥3，并说明等号何时成立．

J556． △𝐴𝐵𝐶的外接圆为Γ，外心为𝑂．过点𝐵和点𝐶作Γ的切线交于点𝐷，𝐴𝐷交Γ于点𝐸．过𝐴作𝐵𝐶的平行线交Γ于点𝐹．求证：𝐸𝐹平分边𝐵𝐶．

J557． 平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵≠𝐴𝐵且∠𝐵𝐴𝐷≥90^(∘)．记𝑀，𝑁，𝑃分别为𝐴在𝐵𝐶，𝐶𝐷，𝐵𝐷上的射影．𝑂为对角线𝐴𝐶和𝐵𝐷的交点．求证：𝑀，𝑁，𝑂，𝑃四点共圆．

J558． 在凸五边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶=𝐶𝐷，𝐷𝐸=𝐸𝐴，∠𝐵𝐶𝐷+∠𝐷𝐸𝐴=90^(∘)．已知∠𝐵𝐶𝐷=𝛼，𝐸𝐶=𝑎，求五边形的面积．

高级组

S553． 求方程

S554． 正实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑥，𝑦，𝑧满足

求证：

S555． △𝐴𝐵𝐶为不等边三角形．在△𝐴𝐵𝐶外部分别构造等腰三角形△𝑋𝐴𝐵，△𝑌𝐴𝐶，△𝑍𝐵𝐶，使得∠𝐴𝑋𝐵=∠𝐴𝑌𝐶=90^(∘)，∠𝑍𝐵𝐶=∠𝑍𝐶𝐵=∠𝐵𝐴𝐶．已知𝐵𝑌，𝐶𝑋，𝐴𝑍三线共点，求∠𝐵𝐴𝐶．

S556． 正实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎+𝑏≤3𝑐．求

公式：\left(\dfrac{a}{6b+c}+\dfrac{a}{b+6c}\right)\left(\dfrac{b}{6c+a}+\dfrac{b}{c+6a}\right)

S557． 正实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎=3．求证：

公式：\sum\limits_{cyc}\dfrac{8a^2}{b+c+2}+33\geq 13(a+b+c)．

S558． △𝐴𝐵𝐶为不等边三角形，𝑁为其九点圆圆心．𝐴关于𝑁的对称点𝐴_(1)落在△𝐴𝐵𝐶的外接圆上，求∠𝐵𝐴𝐶．

大学组

U553． 设𝐴为一个𝑛×𝑛矩阵，且满足𝐴^(4)=𝐼_(𝑛)．求证：𝐴^(2)+(𝐴+𝐼_(𝑛))^(2)和𝐴^(2)+(𝐴−𝐼_(𝑛))^(2)互为逆矩阵．

U554． 计算

其中𝑎<0<𝑏，{𝑡}表示𝑡的小数部分．

U555． 设𝑓:[0,+∞)→[0,∞)为一个可微函数，且对所有𝑥≥0都有𝑓(𝑥)𝑒^(𝑓(𝑥))=𝑥．求

U556． 求单位正方体绕其体对角线旋转一周所得几何体的体积．

U557． 计算

U558． 对任意多项式

奥林匹克问题

O553． △𝐴𝐵𝐶满足𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝑀为𝐵𝐶的中点．圆𝜔和𝐵𝐶相切于𝑀且在△𝐴𝐵𝐶的外部．过点𝐴的圆Ω和𝜔内切，且圆心在𝐴𝑀上．圆𝛾和Ω内切，且和线段𝐵𝐶及𝐴𝐶的延长线相切．过点𝐴作𝜔，𝛾的切线，分别和线段𝑀𝐶交于𝐾，𝐿两点．求证：△𝐴𝐵𝐿内切圆半径为△𝐴𝐾𝐶内切圆半径的两倍．

O554． 实数𝑎,𝑏,𝑐,𝑑满足|𝑎|,|𝑏|,|𝑐|,|𝑑|≥1，且

O555． 正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为1．点𝑋在𝐴𝐵𝐶𝐷外接圆的劣弧𝐷𝐴上．设𝑟_(1)，𝑟_(2)，𝑟_(3)，𝑟_(4)分别为△𝑋𝐷𝐴，△𝑋𝐴𝐵，△𝑋𝐵𝐶，△𝑋𝐶𝐷的内切圆半径．求𝑋在劣弧𝐷𝐴上运动的过程中，

O556． 设△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为𝑎，𝑏，𝑐．求证：

O557． 求

公式：\sum\limits_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\dfrac{(-1)^k}{2k+1}\binom{n}{r}．

O557． 记{𝑥}为实数𝑥的小数部分．求证对于任意正整数𝑛，存在互不相同的有理数𝑥_(1),⋯,𝑥_(𝑛)>𝑛，使得对于任意1≤𝑖,𝑗≤𝑛，都有{𝑥_(𝑖)𝑥_(𝑗)}∈((1)/(2),(5)/(6))．