Mathematical Reflections 2023年第二期征解题

Junior Problems

J619. 在△𝐴𝐵𝐶中，
公式：AB^4+BC^4+CA^4=2AB^2\cdot BC^2+AB^2\cdot CA^2+2BC^2\cdot CA^2.
求∠𝐴的所有可能值．

J620. △𝐴𝐵𝐶为直角三角形，𝑀为斜边𝐵𝐶的中点．已知𝐴𝑀^(2)=𝐴𝐵⋅𝐴𝐶，求∠𝐴𝐶𝐵的值．

J621. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵≠𝐴𝐶，𝐼为内心，𝑋为线段𝐵𝐶的中点．直线𝑋𝐼和过顶点𝐴的高交于点𝑌，求证：𝐴𝑌=𝑟．

J622. 实数𝑎，𝑏，𝑐∈[(1)/(2),1]．求证：

公式：\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{b}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}+\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}< 2.

J623. 设𝑚_(𝑎)，𝑚_(𝑏)，𝑚_(𝑐)分别为△𝐴𝐵𝐶的三条中线长．求证：
公式：\dfrac{m_a^4}{m_b+m_c-m_a}+\dfrac{m_b^4}{m_c+m_a-m_b}+\dfrac{m_c^4}{m_a+m_b-m_c} \geq m_a^3+m_b^3+m_c^3.

J624. 在△𝐴𝐵𝐶中，点𝑀、𝑁、𝑃分别为𝐵𝐶、𝐶𝐴、𝐴𝐵的中点，点𝐷、𝐸、𝐹分别为𝐵𝐶、𝐶𝐴、𝐴𝐵上的垂足．求证：
公式：\dfrac{DM+EN+FP}{2}\ge\max\{m_a,m_b,m_c\}-\min\{m_a,m_b,m_c\}.

Senior Problems

S619. 设𝑎，𝑏，𝑐∈[0,1]，且至多一个为0．求证：
公式：\dfrac{a b+1}{a+b}+\dfrac{b c+1}{b+c}+\dfrac{c a+1}{c+a} \geq \dfrac{a b+b c+c a+3}{a+b+c}+1.

S620. 设𝑎，𝑏，𝑐，𝑑为实数，求证：
公式：(a b c+a b d+a c d+b c d)^2 \geq 4 a b c d(a b+b c+c d+d a).

S621. 求所有正整数𝑛，使得存在正整数𝑎，𝑏，满足以𝑛、3^(𝑎)、5^(𝑏)为三边，能构成一个非退化的三角形．

S622. △𝐴𝐵𝐶内接于圆Γ，圆心为𝑂．过点𝐴和点𝐶作Γ的切线，交于点𝑃．直线𝐵𝑃和Γ交于点𝑄，𝑆为𝐵𝑄中点．求证：∠𝐴𝐶𝑄=∠𝐵𝐶𝑆．

S623. 设正实数𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)和𝑏_(1)，𝑏_(2)，⋯，𝑏_(𝑛)（𝑛≥2）满足

求证：

公式：\begin{aligned} \sqrt{a_1}+\sqrt{b_1+a_2}+\sqrt{b_2+a_3}+\cdot+\sqrt{b_{n-1}+a_n}+\sqrt{b_n}\\ >\sqrt{a_1+b_1}+\sqrt{a_2+b_2}+\cdots+\sqrt{a_n+b_n} \end{aligned}

S624. 𝑎，𝑏，𝑐为正实数，求证：

公式：\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge \sqrt{\frac{b+c}{2a}}+\sqrt{\frac{c+a}{2b}}+\sqrt{\frac{a+b}{2c}}.

Undergraduate Problems

U619. 求所有实系数多项式𝑃(𝑥)，使得对任意𝑥，𝑦∈ℝ，都有
公式：P(x)(P(x)-2 P(y))^2+(2 P(x)-P(y))^2 P(y)=P(x P(x))+P(y P(y)).

U620. 计算：

公式：\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{2 k^2-2 n k+n^2}.

U621. 非负实数𝑥，𝑦，𝑧满足𝑥+𝑦+𝑧=2．求

公式：\sqrt{4+2 x^2}+\sqrt{54-36 \sqrt{2}+4 y^2}+\sqrt{8+2 z^2}

的最小值．

U622. 在任意锐角△𝐴𝐵𝐶中，求证：

公式：\left(\frac{4 S}{3 R}\right)^4 \geq \frac{3\left(a^2+b^2-c^2\right)\left(b^2+c^2-a^2\right)\left(c^2+a^2-b^2\right)}{a^2+b^2+c^2}.

U623. 求所有实数𝑎，使得数列

收敛．并在此情况下求{𝑥_(𝑛)}的极限．

U624. 设𝑝为素数．对任意正整数𝑛，定义rad_(𝑝)(𝑛)为𝑛除𝑝外的所有素因子之积．𝑓：ℕ→ℕ为一个积性函数，且存在非零整数𝑐，满足

Olympiad Problems

O619. 设𝑙为非负整数．求证：存在无穷多个正整数𝑘≥𝑙，对每个正整数𝑘，均存在无穷多组连续𝑘个正整数，使得这连续𝑘个正整数中恰有𝑙个数能表示为两个完全平方数之和．

O620. 求证：对任意正整数𝑛，至多存在一个三元正整数组𝑎≤𝑏≤𝑐，使得(𝑎+𝑏)(𝑏+𝑐)(𝑐+𝑎)(𝑎+𝑏+𝑐+𝑛)为一个素数的幂．

O621. 设𝑎_(1)，⋯，𝑎_(𝑘)为两两不同的正整数，𝑏_(1)，⋯，𝑏_(𝑘)为整数，𝜖为正实数．求证：存在无穷多个正整数𝑛，使得(𝑎_(1)𝑛+𝑏_(1))⋯(𝑎_(𝑘)𝑛+𝑏_(𝑘))整除⌊𝜖𝑛⌋!．

O622. 求所有正整数𝑛，使得能将1，2，⋯，𝑛按照某种顺序排列，并满足对任意1≤𝑘≤𝑛，前𝑘个数之和均为𝑘的倍数．

O623. 求证：存在正整数𝑛和2022个不同的正整数𝑏_(1)、⋯、𝑏_(2022)，使得𝑛在𝑏_(1)进制、⋯、𝑏_(2022)进制下，都是一个2023位的回文数．

O624. 在凸四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐷𝐶𝐴．△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐶𝐷的内切圆半径分别为𝑟_(1)和𝑟_(2)．设过点𝐶且和射线𝐴𝐶、𝐴𝐵均相切的圆半径为𝑟_(3)，过点𝐶且和射线𝐴𝐶、𝐴𝐷均相切的圆半径为𝑟_(4)．求证：