2023年菲律宾数学奥林匹克

第一天

1. 求所有正整数对(𝑎,𝑏)，使得𝑎^(2)+𝑏^(2)+25=15𝑎𝑏，且𝑎^(2)+𝑎𝑏+𝑏^(2)是一个素数．

2. 求所有素数𝑝，使得(2^(𝑝+1)−4)/(𝑝)是一个完全平方数．

3. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵>𝐴𝐶．过点𝐴作△𝐴𝐵𝐶外接圆的切线，和直线𝐵𝐶交于点𝑃．设𝑀为𝐴𝐵的中点，△𝑃𝑀𝐴的外接圆与𝐴𝐶的第二个交点为𝑁．点𝑃关于𝐵𝐶中点的对称点为点𝑄．过点𝐵作𝑄𝑁的平行线，和直线𝑃𝑁交于点𝐷，过点𝑃作𝐷𝑀的平行线，和△𝑃𝑀𝐵的外接圆交于另一点𝐸．求证：𝑃𝑀、𝐵𝐸、𝐴𝐶三线共点．

4. 在10×10的国际象棋盘上，最多可以放置多少个马，使得棋盘上的每一格至多能被一个马攻击到？
   注： 国际象棋中的马每步棋先横走或直走一格，然后再往外斜走一格；或者先斜走一格，最后再往外横走或竖走一格（即走“日”字）．可以越子，没有中国象棋中的“蹩马腿”限制．

第二天

5. Silverio在黑板上写下一个由字母A和G组成的有限序列．然后，他执行以下操作：如果他发现至少出现一个字符串“AG”，他就会随机选择其中一个，并将其替换为“GAAA”．Silverio反复执行此操作，直到黑板上不再有“AG”字符串．求证：对于任意的初始序列，Silverio将在有限次操作后停止．

6. 求所有函数𝑓：ℝ→ℝ，使得对任意𝑥，𝑦∈ℝ，都有

   公式：f(2f(x)) = f(x - f(y)) + f(x) + y.

7. 称一个由正整数组成的集合是好的，如果能将其划分为两个不交的子集𝐹和𝑇，每个子集中至少有2个元素，且子集𝐹中的元素为连续的斐波那契数，子集𝑇中的元素为连续的三角形数．求所有正整数𝑛，使得一个包含了𝑛除自身外所有约数的集合是好的．

8. 设S为平面上所有点组成的集合．求所有函数𝑓：S→ℝ，使得对任意非退化的△𝐴𝐵𝐶及其垂心𝐻，若𝑓(𝐴)≤𝑓(𝐵)≤𝑓(𝐶)，则