2023年西班牙数学奥林匹克

第一天

1. 一个3×3×3的正方体中由27个小正方体组成，每个小正方体内部都由一盏灯，每盏灯只有“开”和“关”两种状态．除最中心小正方体外，其余小正方体内都有一个开关．每次按动开关，将改变与开关所在小正方体有公共面的所有小正方体（包含自身）内灯的状态．起初所有的灯都是关闭的．确定以下哪些状态是可以实现的：
   （1）所有灯都开着．
   （2）除中央灯外，所有灯都开着．
   （3）只有中央灯开着．

2. 设锐角△𝐴𝐵𝐶的内心为𝐼，垂心为𝐻．点𝑀为𝐴𝐵的中点，在直线𝐴𝐻上取点𝐷、𝐸，使得直线𝑀𝐷平行于𝐶𝐼，直线𝑀𝐸垂直于𝐶𝐼．求证：𝐴𝐸=𝐷𝐻．

3. 求所有四元正整数组(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)，使得𝑎^(2)+𝑏^(2)=𝑐^(2)+𝑑^(2)，且𝑎𝑐+𝑏𝑑整除𝑎^(2)+𝑏^(2)．

第二天

4. 设实数𝑥_(1)≤𝑥_(2)≤𝑥_(3)≤𝑥_(4)．求证：当且仅当𝑥_(1)+𝑥_(4)=𝑥_(2)+𝑥_(3)时，存在实系数二次多项式𝑃(𝑥)和𝑄(𝑥)，使得𝑥_(1),𝑥_(2),𝑥_(3),𝑥_(4)为𝑃(𝑄(𝑥))的四个根．

5. 203个格子排成一排，起初，最左边的格子内放有203枚硬币，其余格子内都是空的．在每次操作中，能进行下面两种移动方式之一：
   (1)取出一枚硬币，将它移入相邻的格子内（左或右）；
   (2)从同一个格子中恰取出20枚硬币，将它们全部放入同一个相邻的格子内（全部左或全部右）．
   在2023次操作后，每个格子中恰好有一枚硬币．求证：存在一枚硬币，其至少向左移动了9次．

6. 在不等边的锐角△𝐴𝐵𝐶中，内心为𝐼，直线𝐴𝐼与外接圆的另一个交点为𝐷．点𝐽为𝐼关于𝐷的对称点．过𝐼、𝐽分别作𝐴𝐼的垂线，交直线𝐵𝐶于点𝐸、𝐹．设𝐼在𝐴𝐸上的射影为𝐺，𝐽在𝐴𝐹上的射影为𝐻．求证：𝐵𝐺=𝐶𝐻．