函数有三个零点——解答

证明：

若cos⁡𝜃=0，则公式：F(x)=x^3-3x，有三个零点：0，±√(3)．

若cos⁡𝜃≠0，由

公式：F(-2)=-2\sin\theta+11\cos\theta,F(-1)=2\sin\theta+2\cos\theta,F(0)=-\cos\theta

公式：F(1)=-2\sin\theta+2\cos\theta,F(2)=2\sin\theta+11\cos\theta

可知：

公式：F(-2)+F(-1)+13F(0)=0,13F(0)+F(1)+F(2)=0

又𝐹(0)≠0，故𝐹(𝑥)在[−2,0)，(0,2]上各至少有一个零点．下证：𝐹(𝑥)无重根．

若不然，设𝐹(𝑥)的三个根为𝑎，𝑎，𝑏．

由韦达定理：

公式：\begin{cases} a+a+b=-3\cdot\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\\ a^2+ab+ab=-3\\ a^2b=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} \end{cases}

于是2𝑎+𝑏+3𝑎^(2)𝑏=0即𝑏=(−2𝑎)/(3𝑎^(2)+1)=(−(𝑎^(2)+3))/(2𝑎)．

因此4𝑎^(2)=(𝑎^(2)+3)(3𝑎^(2)+1)，即3(𝑎^(2)+1)^(2)=0，矛盾．

于是𝐹(𝑥)在(−∞,+∞)上有三个不同零点．