2023年孟加拉国数学奥林匹克

初级组

1. 求所有非负整数(𝑥,𝑦)，使得

2. 点𝐴、𝐵、𝐶在同一条直线上顺次排列，以𝐴𝐵为直径作半圆𝜔_(1)，以𝐴𝐶为直径作半圆𝜔_(2)，且𝜔_(1)和𝜔_(2)位于𝐴𝐶同侧．𝜔_(2)上一点𝐷满足𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，以𝐵为圆心，𝐵𝐷为半径的圆和𝜔_(1)交于点𝐸．𝐴𝐶上一点𝐹满足𝐸𝐹⊥𝐴𝐶．求证：𝐵𝐶=𝐵𝐹．

3. 求不定方程的正整数解：

公式：(x+2y)^2+2x+5y+9=(y+z)^2

4. 将2023个球放入若干个篮子中，每个篮子中球的个数不超过99．每一次操作可以移除任意篮子中的若干个球，或者移除一个空的篮子．求证：存在某种操作顺序，使得最后剩下的每个篮子中球的数量均相等，且总数量不少于100．

5. 设实数𝑚，𝑛，𝑝满足

求

公式：\frac 1{(m+n+p)^{2023}} -\frac 1{m^{2023}} -\frac 1{n^{2023}} -\frac 1{p^{2023}}

的所有可能值．

6. 设△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形，𝜔为其外接圆．点𝑁在不包含𝐵的弧𝐴𝐶上，点𝑆在直线𝐴𝐵上．𝜔在点𝑁处的切线交𝐵𝐶于点𝑇，𝑁𝑆和𝜔交于点𝐾．已知∠𝑁𝑇𝐶=∠𝐾𝑆𝐵，求证：𝐶𝐾//𝐴𝑁//𝑇𝑆．

7. 求证：每个正整数均可以表示为下面的形式：

公式：3^{m_1}\cdot 2^{n_1}+3^{m_2}\cdot 2^{n_2} + \dots + 3^{m_k}\cdot 2^{n_k}

其中𝑚_(1)>𝑚_(2)>⋯>𝑚_(𝑘)≥0和0≤𝑛_(1)<𝑛_(2)<⋯<𝑛_(𝑘)均为整数．

8. 在数轴上给定𝑛个区间[𝑙_(1),𝑟_(1)]，[𝑙_(2),𝑟_(2)]，[𝑙_(3),𝑟_(3)]，⋯，[𝑙_(𝑛),𝑟_(𝑛)]．已知可以将这些区间分为两个集合，使得同一集合中的任意两个区间均不重叠．求证：至多存在𝑛−1对有重叠的区间．

9. 设正2𝑛边形𝐴_(1)𝐴_(2)⋯𝐴_(2𝑛)内接于圆𝜔，点𝑃为𝜔上任意一点．𝐻_(1)，𝐻_(2)，⋯，𝐻_(𝑛)分别为△𝑃𝐴_(1)𝐴_(2)，△𝑃𝐴_(3)𝐴_(4)，⋯，𝑃𝐴_(2𝑛−1)𝐴_(2𝑛)的垂心．求证：𝑃_(1)𝑃_(2)⋯𝑃_(𝑛)为正𝑛边形．

10. Joy在一块𝑛×𝑛的棋盘上进行游戏．在每一次操作中，他将棋盘上的一格染色，每个方格至多被染色一次．与此同时，Joy会进行计分．每一次操作中，在将一格𝑐染色后，他取出一个以𝑐格为中心的“十字架”，其中每一个均已被染色，并将该十字架中方格个数的最大可能值作为该次操作的得分．在将棋盘上的所有方格染色之后，Joy的总得分最大值是多少？
    注：十字架的每一支中方格个数不必相等，且可以为0．

高级组

1. 求所有非负整数(𝑥,𝑦,𝑧)，使得

2. 𝑛元集合{𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛)}的所有元素之和为𝑆．已知集合中每个元素均小于(𝑆)/(𝑛−1)．求证：集合中任意三个元素𝑎_(𝑖)，𝑎_(𝑗)和𝑎_(𝑘)均满足𝑎_(𝑖)+𝑎_(𝑗)>𝑎_(𝑘)．

3. 对任意正整数𝑛，定义𝑓(𝑛)为不整除𝑛的最小正整数．例如：𝑓(1)=2，𝑓(6)=4．求证：对任意正整数𝑛，𝑓(𝑓(𝑛))和𝑓(𝑓(𝑓(𝑛)))中必有一个为2．

4. 等腰梯形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于圆𝜔，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝑃为𝜔上一点，𝐻_(1)和𝐻_(2)分别为△𝑃𝐴𝐷和△𝑃𝐵𝐶的垂心．求证：当点𝑃在𝜔上运动时，𝐻_(1)𝐻_(2)的长度为定值．

5. 𝑓为ℝ→ℝ的可积函数，且满足𝑎𝑏=1时，𝑎𝑓(𝑎)+𝑏𝑓(𝑏)=1（改为af(a)+bf(b)=0）．求积分：

6. 同初级组第8题．

7. 设△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形，𝜔为其外接圆．过点𝐴作𝐵𝐶的垂线，和𝐵𝐶交于点𝐷，和𝜔交于点𝐾．过点𝐴、𝐷且和𝐵𝐶相切于点𝐷的圆和𝜔交于点𝐸．𝐴𝐸和𝐵𝐶交于点𝑇，𝑇𝐾和𝜔交于点𝑆，𝑆𝐷交𝜔于点𝑋．求证：点𝑋和点𝐴关于𝐵𝐶的中垂线轴对称．

8. 同初级组第10题．

9. 设△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形．点𝐷在边𝐵𝐶上，且𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶．直线𝑙和△𝐴𝐷𝐵、△𝐴𝐷𝐶的外接圆分别相切于点𝑘、𝐿．点𝑀、𝑁、𝑃分别为𝐵𝐷、𝐷𝐶、𝐾𝐿的中点．求证：𝑙和△𝑀𝑁𝑃的外接圆相切．

10. 2023次实系数多项式公式：P(x)=x^{2023}+a_1x^{2022}+\cdots+a_{2022}x+a_{2023}满足𝑃(0)+𝑃(1)=0，且有2023个实根𝑟_(1)，𝑟_(2)，⋯，𝑟_(2023)（不必互异），满足0≤𝑟_(1),𝑟_(2),⋯,𝑟_(2023)≤1．求𝑟_(1)𝑟_(2)⋯𝑟_(2023)的最大值．