赛题翻译 2023-03-25

2023年土耳其欧洲女子数学奥林匹克代表队选拔考试

公众号原标题：2023年土耳其欧洲女子数学奥林匹克代表队选拔考试——中文翻译（显示标题做过精简）

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 228 字公式 55 处

第一天

设△𝑂_(1)𝑂_(2)𝑂_(3)为锐角三角形．分别以𝑂_(1)、𝑂_(2)、𝑂_(3)为圆心，作三个两两相切的圆𝜔_(1)、𝜔_(2)、𝜔_(3)．设△𝑂_(1)𝑂_(2)𝑂_(3)的外接圆和𝜔_(𝑖)交于点𝐴_(𝑖)、𝐵_(𝑖)（𝑖=1，2，3）．求证：由直线𝐴_(1)𝐵_(1)、𝐴_(2)𝐵_(2)、𝐴_(3)𝐵_(3)所围成的三角形的内心与△𝑂_(1)𝑂_(2)𝑂_(3)的内心重合．
求所有素数𝑝，𝑞，使得

𝑝(𝑝^(4)+𝑝^(2)+10𝑞)=𝑞(𝑞^(2)+3).

𝑥𝑦^(3)𝑧^(2)+(4𝑧)/(𝑥)−8𝑦𝑧−(4)/(𝑦𝑧).

设𝑛为正整数，实系数多项式𝑃、𝑄满足𝑃(𝑥)=𝑥^(𝑛)𝑄((1)/(𝑥))，且对任意实数𝑥，都有𝑃(𝑥)≥𝑄(𝑥)．求证：对任意实数𝑥，都有𝑃(𝑥)=𝑄(𝑥)．
在一所学校里，对任意1≤𝑙≤99，均存在一个人恰有𝑙个朋友．且不存在三个人，他们两两都是朋友．这所学校里至少有多少个人？
设△𝐴𝐵𝐶为不等边三角形，其外接圆在点𝐴处的切线为𝑙_(0)．𝑙为一条平行于𝑙_(0)的动直线，𝑙和线段𝐴𝐵、𝐴𝐶分别交于点𝑋、𝑌．𝐵𝑌和𝐶𝑋交于点𝑇，直线𝐴𝑇和△𝐴𝐵𝐶的外接圆交于点𝑍．求证：随着𝑙的移动，△𝑋𝑌𝑍的外接圆过一定点．

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