一分钟做不等式系列（8）——2025年菲律宾MO

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1. 第 27 题（2025 年菲律宾）　求最大的实数 $k$，使得对于所有实数 $a,b,c,d$，如下不等式恒成立：$(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)(d^2+3)+k(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)\ge 0$．
2. 解　取 $a=b=c=-1$，$d=3$，得 $4^3\times 12-16k\ge 0$，即 $k\le 48$．下证：$k=48$ 时，不等式成立．
3. 设 $a=x+1,b=y+1,c=z+1,d=w+1$，即证：$(x^2+2x+4)(y^2+2y+4)(z^2+2z+4)(w^2+2w+4)+48xyzw\ge 0$．
4. 当 $xyzw\ge 0$ 时，不等式显然成立．下设 $xyzw<0$，即证：$\Bigl(x+\frac{4}{x}+2\Bigr)\Bigl(y+\frac{4}{y}+2\Bigr)\Bigl(z+\frac{4}{z}+2\Bigr)\Bigl(w+\frac{4}{w}+2\Bigr)\le -48$．
5. 设 $f(t)=t+\frac{4}{t}+2$，当 $t<0$ 时，$f(t)\le -2$；当 $t>0$ 时，$f(t)\ge 6$．由 $xyzw<0$ 知：$x,y,z,w$ 中一负三正或三负一正，因此
6. $f(x)f(y)f(z)f(w)\le(-2)^3\times 6=-48$．
7. 综上，$k$ 的最大值为 $48$．