一道不等式问题
公众号原标题：【答读者问】一道不等式问题（显示标题做过精简）
正文文字 96 字公式 32 处1 图
给定整数n≥2，求最大的正整数k，使得对任意a_(1)≥a_(2)≥⋯≥a_(n)≥0，都有
公式：\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_k}{k}\right)^2\ge\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n}.
展开解答收起解答
解答：
k的最大值为[√(n)]．
一方面，令a_(1)=1，a_(2)=⋯=a_(n)=0，满足题目要求，此时有k≤√(n)．
另一方面，证明k=[√(n)]时，不等式成立．记n=k^(2)+t，t∈{0,1,⋯,2m}．原不等式等价于
公式：(k^2+t)\left(\sum_{i=1}^ka_i\right)^2\ge k^2\sum_{i=1}^{k^2+t}a_i^2
t=0时，不等式显然成立．
t≥1时，只需证：
公式：t\left(\sum_{i=1}^ka_i\right)^2\ge k^2\sum_{i=k^2+1}^{k^2+t}a_i^2
由a_(1)≥a_(2)≥⋯≥a_(n)≥0知：
公式：\mathrm{LHS}\ge t\cdot(ka_{k^2+1})^2=k^2\cdot ta_{k^2+1}^2\ge\mathrm{RHS}
证毕．
（早上让自己清醒的最佳方式是一杯热茶+一道数学题。）
留言
正常留言提交后可直接显示，无需人工审核；仍会经过防刷与垃圾内容过滤。请不要留下手机号等私人信息。解法、疑问都可以说；公式用 LaTeX：行内
$…$，整行$$…$$。