用张角定理证明一道几何题

如图，在△ABC中，D为BC的中点，O为外心，H为垂心，E、F分别为AB、AC上一点，使得AE=AF，且F、H、E三点共线，P为△AEF外心．求证：OP∥HD．

分析与证明：

看到垂心、外接圆、中点一系列条件，不难想到这一熟知结论：垂心H关于BC中点D的对称点在⊙O上，且为点A的对径点．

延长HD交⊙O于点K，熟知O为AK中点，要证PO∥HD，只需证明PO为中位线．

延长AP交HD于点T，即证P为AT中点．

结合P为△AEF的外心，只需证明点T也在⊙P上，即证：AE⊥ET．

隐藏无关点后，得到下图：

设△ABC的三个内角分别为A,B,C，外接圆半径为R．

于是AH=2Rcos⁡A，AK=2R，∠BAH=90^(∘)−B，∠CAH=90^(∘)−C，公式：\angle HAT=\angle TAK=\frac{\angle HAK}{2}=\frac{B-C}{2}．

以A为视点，对EHF使用张角定理，得：

公式：\begin{aligned} &\frac{\sin A}{AH}=\frac{\sin(90^{\circ}-C)}{AE}+\frac{\sin(90^{\circ}-B)}{AF}\\ \Rightarrow&\frac{\sin A}{2R\cos A}=\frac{\cos B+\cos C}{AE}\\ \Rightarrow&AE=\frac{\cos B+\cos C}{\sin A}\cdot 2R\cos A \end{aligned}

以A为视点，对HTK使用张角定理，得：

公式：\begin{aligned} &\frac{\sin(B-C)}{AT}=\frac{\sin\frac{B-C}{2}}{AH}+\frac{\sin\frac{B-C}{2}}{AK}\\ \Rightarrow&\frac{2\cos\frac{B-C}{2}}{AT}=\frac{1}{2R\cos A}+\frac{1}{2R}=\frac{1+\cos A}{2R\cos A}\\ \Rightarrow&AT=\frac{2\cos\frac{B-C}{2}}{1+\cos A}\cdot 2R\cos A \end{aligned}

于是

公式：\begin{aligned} \frac{AE}{AT}=&\frac{\cos B+\cos C}{\sin A}\cdot\frac{1+\cos A}{2\cos\frac{B-C}{2}}\\ =&\frac{2\cos\frac{B+C}{2}\cos\frac{B-C}{2}}{2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}}\cdot\frac{2\cos^2\frac{A}{2}}{\cos\frac{B-C}{2}}\\ =&\cos\frac{A}{2}=\cos\angle EAT \end{aligned}

于是AE⊥ET，证毕．