用圆幂定理证明一道两圆相切问题

题目：

在△ABC中，BC中点为M，弧BAC的中点为N．L为CN上一点，△LMN的外心为O．求证：△LNO的外接圆与△ABC的A-鸡爪圆相切．

注：事实上，本题和点A无关．

一般而言，要证明两圆相切，主要分以下三步：

1. 猜切点的性质，通常为某个特殊点，或在某条直线上
2. 证明两圆都过这个切点，一般可设它在其中一个圆上，再去证明在另一个圆上
3. 证明两圆在该点处相切，可以过该点作其中一个圆的切线，证明切线也和另一个圆相切（这一步可以简化，象征性地作出切线即可）

在本题中，通过观察容易猜到，切点在线段OC上，下面进行证明．

证明：

设OC和⊙(LNO)再次交于点P，记⊙O和⊙S的半径分别为R_(1),R_(2)．由圆幂定理知：

即点P在⊙S上．

类似的，

即ON^(2)=OP⋅OC，于是△ONP∼△OCN，∠PCN=∠ONP．从而

即⊙(LNO)和⊙S相切于点P，证毕．