恒等式与不等式的证明一例

下面是一个常见的恒等变形：

公式：\begin{aligned} &ab+bc+ca+2abc=1\\ \iff&\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2\\ \iff&\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=2 \end{aligned}

此外，若a,b,c≥0，上式还等价于

公式：\frac{a(b+c)}{a+1}+\frac{b(c+a)}{b+1}+\frac{c(a+b)}{c+1}=1

这个恒等变形比较少见，但验证是简单的，在此略去．

2025年以色列数学奥林匹克的第6题就用到了上面的恒等变形：

注意到如下恒等式，由Cauchy不等式即证：

公式：\frac{ab+ac+1}{a+2}+\frac{ab+bc+1}{b+2}+\frac{ac+bc+1}{c+2}=3

注：这种不等式没太大意义，写的原因是后台有读者问到。