一试预赛 2025-04-13 含解答

这道全国大学生数学竞赛的多项式题目，很适合作为一试题

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 96 字公式 38 处

题目：（2025年全国大学生数学竞赛决赛（数学类）第三题）

设实系数多项式p(x)和q(x)分别为：

p(x)=x^(n)+a_(1)x^(n−1)+⋯+a_(n),

q(x)=x^(m)+b_(1)x^(m−1)+⋯+a_(m).

已知q(x)∣p(x)，且对某个k有|b_(k)|>2025^(k)Ckm，其中Ckm为组合数．证明：存在1≤j≤n使得|a_(j)|>2024．

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证明：

设q(x)的全体复根为x_(1),x_(2),⋯,x_(m)．

由韦达定理：

2025^(k)Ckm< |b_(k)|=∣∑_(1≤i_(1)<⋯<i_(k)≤m)x_(i_(1))⋯x_(i_(k))∣;≤ ∑_(1≤i_(1)<⋯<i_(k)≤m)|x_(i_(1))|⋯|x_(i_(k))|;

由平均值原理：存在1≤k≤m，使得t=|x_(k)|>2025．

由q(x)∣p(x)知，x_(k)也为p(x)的根，若∀1≤j≤n，都有|a_(j)|≤2024，则

0= |f(x_(k))|;= ∣xnk+∑_(i=1)^(n)a_(i)xn−ik∣;≥ |x_(k)|^(n)−∑_(i=1)^(n)|a_(i)|⋅|x_(k)|^(n−i);≥ t^(n)−2024∑_(i=1)^(n)t^(n−i);= t^(n)−2024⋅(t^(n)−1)/(t−1);= (1)/(t−1)(t^(n)(t−2025)+2024);> 0;

矛盾！故原命题成立．

预赛与联考大学生竞赛多项式

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