2024年浙江省预赛第11题背景分析

2024年浙江省预赛的第11题如下：

设n为正整数，且

公式：\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k\mathrm{C}_n^k}{k^3+9k^2+26k+24}=\frac{1}{312},

则n=__________．

参考答案利用了组合恒等式进行变形，见文末．

这里对本题的背景进行分析．

首先观察到分母可以进行因式分解：

公式：k^3+9k^2+26k+24=(k+2)(k+3)(k+4)

这是连续的三个整数之积，结合分子中的组合数Ckn，我们构造函数：

公式：f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k\mathrm{C}_n^k}{(k+2)(k+3)(k+4)}\cdot x^{k+4}

对f(x)求三次导数，可将分母完全约去：

公式：f'''(x)=\sum_{k=0}^n(-1)^k\mathrm{C}_n^kx^{k+1}

进一步地，右边提出x后为二项式定理：

公式：f'''(x)=x\sum_{k=0}^n\mathrm{C}_n^k(-x)^k=x(1-x)^n

下面我们对x(1−x)^(n)重新求三次不定积分，作换元x=1−t，则

公式：x(1-x)^n\mathrm{d}x=(1-t)t^n\mathrm{d}(1-t)=(t-1)t^n\mathrm{d}t

易得

公式：\begin{aligned} G(t)=&\frac{t^{n+4}}{(n+2)(n+3)(n+4)}-\frac{t^{n+3}}{(n+1)(n+2)(n+3)}\\ =&\frac{[(n+1)t-(n+4)]t^{n+3}}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)} \end{aligned}

的三阶导数即为(t−1)t^(n)．

将其中的t换回1−x，即得

公式：F(x)=\dfrac{-[(n+1)x+3](1-x)^{n+3}}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}

的三阶导数也为x(1−x)^(n)（容易验证）．

于是多项式F(x)和f(x)的三阶导数相同，这说明F(x)和f(x)的三次及以上的项均相同．

本题要算的f(1)为f(x)各项系数之和，而F(1)=0，即F(x)各项系数之和为0．

注意到

公式：f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k\mathrm{C}_n^k}{(k+2)(k+3)(k+4)}\cdot x^{k+4}

的二次项、一次项、常数项系数均为0．

故只需计算F(x)的二次项、一次项、常数项系数之和，并求其相反数，(modx^(3))可得F(x)二次及以下的项．

公式：\begin{aligned} &F(x)=\dfrac{-[(n+1)x+3](1-x)^{n+3}}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}\\ \equiv&\frac{-[(n+1)x+3][1-(n+3)x+\mathrm{C}_{n+3}^2x^2]}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}\\ \equiv&-\frac{3-(2n+8)x+\frac{(n+3)(n+4)}{2}x^2}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)} \pmod{x^3} \end{aligned}

在上式中，令x=1，得

公式：\begin{aligned} &\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k\mathrm{C}_n^k}{k^3+9k^2+26k+24}\\ =&\frac{3-(2n+8)+\frac{(n+3)(n+4)}{2}}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}\\ =&\frac{1}{2(n+3)(n+4)} \end{aligned}

令(1)/(2(n+3)(n+4))=(1)/(312)，得n=9或n=−16（舍去）．

参考答案如下：