一个复数恒等式问题
公众号原标题：【数形结合】一个复数恒等式问题（显示标题做过精简）
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- 第 1 题 互不相同的复数 $a,b,c,d,e,f$ 满足条件：$ad+be+cf=af+bc+de=ab+cd+ef$．求证：$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2=ac+ce+ea+bd+df+fb$．
- 证明 设 $a,b,c,d,e,f$ 在复平面上所对应的点分别为 $A,B,C,D,E,F$．先说明所涉三角形非退化：设 $t=\frac{a-e}{c-e}=\frac{b-f}{d-f}$，由题设的另一个等式有 $1-t=\frac1t$，故 $t^2-t+1=0$，$t$ 非实数．
- $ad+be+cf=af+bc+de\Longleftrightarrow\frac{a-e}{c-e}=\frac{b-f}{d-f}\Longleftrightarrow\triangle ACE\sim\triangle BDF$．
- $ab+cd+ef=af+bc+de\Longleftrightarrow\frac{a-c}{e-c}=\frac{d-f}{b-f}\Longleftrightarrow\triangle ACE\sim\triangle DFB$．
- 于是 $\triangle BDF\sim\triangle DFB$，这说明 $\triangle BDF$ 为正三角形，即 $b^2+d^2+f^2=bd+df+fb$．
- 同理 $a^2+c^2+e^2=ac+ce+ea$，两式相加即证．
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