一个恒等式与一个复数不等式

首先来看一个常见的恒等变形：

公式：\begin{align*} &x+y+z+2=xyz\\ \iff&\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}=1 \end{align*}

若将上式两端同除以𝑥𝑦𝑧可得：

公式：\begin{align*} &\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{2}{xyz}=1\\ \iff&\dfrac{\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}+\dfrac{\dfrac{1}{y}}{1+\dfrac{1}{y}}+\dfrac{\dfrac{1}{z}}{1+\dfrac{1}{z}}=1 \end{align*}

将上式中的(1)/(𝑥)，(1)/(𝑦)，(1)/(𝑧)视作新的𝑥，𝑦，𝑧可得：

公式：\begin{align*} &xy+yz+zx+2xyz=1\\ \iff&\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}=1 \end{align*}

于是，只要找到和恒为1的三个关于𝑎，𝑏，𝑐的轮换式，我们就可以将(𝑥)/(𝑥+1)，(𝑦)/(𝑦+1)，(𝑧)/(𝑧+1)代换为这三个式子，从而得到一个三元恒等式．接下来开始寻找这样的轮换式．

事实上，我们有分式中的欧拉公式：

在𝑟=0或1时值为0，在𝑟=2时值为1，在𝑟=3时值为𝑎+𝑏+𝑐．

这里我们取𝑟=2时的情形．

可令(𝑥)/(𝑥+1)=(𝑎^(2))/((𝑎−𝑏)(𝑎−𝑐))，即

同理令

在此情形下，必有恒等式

有一道复数不等式就是以此为背景而命制的：

题目 已知𝑎，𝑏，𝑐为复数．求证：

其中分母均不为0．

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证明 设

𝑥=(𝑎^(2))/(𝑏𝑐−𝑎𝑏−𝑎𝑐)

𝑦=(𝑏^(2))/(𝑐𝑎−𝑎𝑏−𝑏𝑐)

𝑧=(𝑐^(2))/(𝑎𝑏−𝑏𝑐−𝑐𝑎)

则

𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥+2𝑥𝑦𝑧=1

若|𝑥|+|𝑦|+|𝑧|<(3)/(2)．则

公式：\begin{align*} &|xy+yz+zx|\\ \leq&|x|\cdot|y|+|y|\cdot|z|+|z|\cdot|x|\\ \leq&\dfrac{1}{3}\left(|x|+|y|+|z|\right)^2\\ <&\dfrac{3}{4} \end{align*}

且

公式：|xyz|\leq \left(\dfrac{|x|+|y|+|z|}{3}\right)^3<\dfrac{1}{8}

这与

𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥+2𝑥𝑦𝑧=1

矛盾．

故原不等式成立．