以一道预赛题为例，谈谈猜取等条件的重要性

解答：

设a=3x，b=(5)/(2)y，c=2z，则条件变为：

公式：2\cdot 3x+4\cdot\frac{5}{2}y+7\cdot 2z\le 2\cdot 3x\cdot\frac{5}{2}y\cdot 2z

即3x+5y+7z≤15xyz．

于是由15元均值不等式，有

公式：15xyz\ge 3x+5y+7z\ge 15\sqrt[15]{x^3y^5z^7}

即x^(6)y^(5)z^(4)≥1． 因此

公式：a+b+c=\frac{6x+5y+4z}{2}\ge\frac{15\sqrt[15]{x^6y^5z^4}}{2}\ge\frac{15}{2}

a=3，b=(5)/(2)，c=2时，等号成立，于是a+b+c的最小值为(15)/(2)．

大家能否看出上面的过程是怎么得来的？

分析：

条件的不等式中，每个变量均为一次，因此可以轻松地进行消元．

由题意知：(2ab−7)c≥2a+4b，从而2ab−7≥0，因此有c≥(2a+4b)/(2ab−7)．

代入a+b+c后进行分离常数，使用均值不等式可以再消去一个变量．

公式：\begin{aligned} &a+b+c\\ \ge&a+b+\dfrac{2a+4b}{2ab-7}\\ =&a+b+\dfrac{(2a-\frac{7}{b})+(4b+\frac{7}{b})}{2ab-7}\\ =&a+b+\frac{1}{b}+\frac{4b+\frac{7}{b}}{2ab-7}\\ =&\frac{2ab-7}{2b}+\frac{7}{2b}+b+\frac{1}{b}+\frac{4b+\frac{7}{b}}{2ab-7}\\ \ge&2\sqrt{\frac{2ab-7}{2b}\cdot\frac{4b+\frac{7}{b}}{2ab-7}}+b+\frac{9}{2b}\\ =&\sqrt{\frac{8b^2+14}{b^2}}+b+\frac{9}{2b} \end{aligned}

虽然转变成单变量问题了，但这个函数非常复杂，难以求出最小值．

尽管如此，上面的过程也能帮助我们探寻本题的取等条件：

2a+4b+7c=2abc

(2ab−7)/(2b)=(4b+(7)/(b))/(2ab−7)即(2ab−7)^(2)=8b^(2)+14．

仿照上面过程，以b为主元，同理可得另一个取等条件：（过程略）

(2ab−7)/(2a)=(2a+(14)/(a))/(2ab−7)即(2ab−7)^(2)=4a^(2)+28．

要根据上面三个方程严谨地解出a,b,c的值非常困难，但我们坚信，这类题目的取等条件往往不会太复杂，有极大的可能是整数．

另外观察到(2ab−7)^(2)=4a^(2)+28这个式子中存在平方差的结构，将其当成关于a,b的不定方程，可以很快解出来．

(2ab−7+2a)(2ab−7−2a)=28，且2ab−7+2a和2ab−7−2a同奇偶，于是

解得：a=3，b=(5)/(2)，代入(2ab−7)^(2)=8b^(2)+14，同样满足，于是c=2．

猜到取等条件之后，为了方便凑均值，将a,b,c分别设为3x,(5)/(2)y,2z，取等条件变为了x=y=z=1，于是就得到上面的解答．

可以看出，如果没有猜出取等条件，本题将困难不少．

最后留个问题，大家能猜出取等条件，并依照取等条件做出题目吗？

非负实数a,b,c满足a^(2)+b^(2)+c^(2)=11，则

公式：(a+b+c+2)^2\left(\frac{1}{a^2+3}+\frac{1}{b^2+3}+\frac{1}{c^2+3}\right)

的最大值为_________．