一分钟做不等式系列（16）——2026年新疆预赛
正文文字 71 字公式 20 处1 图
题目：（有改动，原题见文末）
已知𝑛⩾3，𝑛∈ℕ_(+)，且∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑎_(𝑖)=2𝑛，𝑎_(𝑖)⩾0，𝑖=1,2,⋯,𝑛，求
的最大值和最小值．
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答案：
最大值为𝑛^(2)−2𝑛−(3)/(4)，最小值为−3𝑛−1．
构造：
取𝑎_(1)=𝑛+(1)/(2)，𝑎_(2)=𝑛−(1)/(2)，其余为0，得𝑓=𝑛^(2)−2𝑛−(3)/(4)．
取𝑎_(2)=2𝑛，其余为0，得𝑓=−3𝑛−1；
证明：
𝑓=∑_(𝑖=1)^(𝑛−1)(𝑎_(𝑖)𝑎_(𝑖+1)−𝑎_(𝑖)−𝑎_(𝑖+1)+1)=∑_(𝑖=1)^(𝑛−1)𝑎_(𝑖)𝑎_(𝑖+1)+𝑎_(1)+𝑎_(𝑛)−3𝑛−1
（1）最小值：
由𝑎_(𝑖)⩾0即证𝑓⩾−3𝑛−1．
（2）最大值：
由熟知的不等式（(1)/(4)引理，证明略）：
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