代数 2026-07-18 含解答

一道三元不等式的“装逼式证明”

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 59 字公式 11 处

偶然间看到的一道三元不等式，写个“装逼式证明”，待定系数过程留给读者。

题目:设 𝑥,𝑦,𝑧≥0，且𝑥+2𝑦+3𝑧≤6．求证：

𝑥𝑦𝑧(𝑥+𝑦)(𝑦+𝑧)(𝑥+𝑦+𝑧)≤27.

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证明:

令

𝑋=𝑥+𝑦+𝑧,𝑌=𝑦+𝑧,𝑍=𝑧.

则

𝑋≥𝑌≥𝑍≥0,𝑋+𝑌+𝑍≤6,

且

𝑃:=𝑥𝑦𝑧(𝑥+𝑦)(𝑦+𝑧)(𝑥+𝑦+𝑧)=𝑋𝑌𝑍(𝑋−𝑌)(𝑋−𝑍)(𝑌−𝑍).

取

𝑡^(3)−6𝑡^(2)+9𝑡−3=0

的三个正根

𝛼=4sin^(2)⁡80^(∘),𝛽=4sin^(2)⁡40^(∘),𝛾=4sin^(2)⁡20^(∘).

容易验证

⎧⎩⎨⎪⎪𝛼>𝛽>𝛾>0,;𝛼𝛽𝛾=3,;(𝛼−𝛽)(𝛼−𝛾)(𝛽−𝛾)=9,;(1)/(𝛼)+(1)/(𝛼−𝛽)+(1)/(𝛼−𝛾)=1,;(1)/(𝛽)+(1)/(𝛽−𝛼)+(1)/(𝛽−𝛾)=1,;(1)/(𝛾)+(1)/(𝛾−𝛼)+(1)/(𝛾−𝛽)=1.;

于是，由均值不等式

𝑃 =(√(3)𝑋)/(𝛼)⋅(√(3)𝑌)/(𝛽)⋅(√(3)𝑍)/(𝛾)⋅(√(3)(𝑋−𝑌))/(𝛼−𝛽)⋅(√(3)(𝑋−𝑍))/(𝛼−𝛾)⋅(√(3)(𝑌−𝑍))/(𝛽−𝛾); ≤((√(3))/(6)(𝑋((1)/(𝛼)+(1)/(𝛼−𝛽)+(1)/(𝛼−𝛾))+𝑌((1)/(𝛽)+(1)/(𝛽−𝛼)+(1)/(𝛽−𝛾))+𝑍((1)/(𝛾)+(1)/(𝛾−𝛼)+(1)/(𝛾−𝛽))))^(6); =((√(3)(𝑋+𝑌+𝑍))/(6))^(6)≤(√(3))^(6)=27.;

◻

不等式解题研究

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