代数
含解答
一道不等式问题的简解
正文文字 395 字公式 18 处2 图
个人感觉做得比GPT要简洁不少（见图2），题目为戴安娜的梦老师原创，戴老师在数之谜上最近出了很多非常优雅的原创题，推荐大家试一试。
题目
设整数 $n\ge 5$，实数 $a_1,\ldots,a_n$ 的和为 $0$，且对任意互不相同的下标 $i,j,k$，都有
$$a_j(a_i+a_k)\ge -1.$$
求
$$S=\sum_{i=1}^{n}a_i^2$$
的最大值。
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简解
不妨设
$$a_1=M=\max_{1\le i\le n}|a_i|>0,
\qquad a_2\le a_3\le\cdots\le a_n.$$
记 $a_2=-b$，$a_3=-c$，则 $b\ge c$。由题设，
$$M(b+c)\le 1.$$
又对任意 $i\ne 2$，均有 $a_i+c\ge 0$，且
$$a_2+c=c-b\le 0.$$
于是
$$\begin{aligned}
S
&=\sum_{i=1}^{n}a_i(a_i+c)\\
&\le M\sum_{i=1}^{n}|a_i+c|\\
&=M\bigl[nc+2(b-c)\bigr]\\
&=M\bigl[2b+(n-2)c\bigr]\\
&=\frac n2M(b+c)-\frac{n-4}{2}M(b-c)\\
&\le \frac n2M(b+c)\\
&\le \frac n2.
\end{aligned}$$
取等
取
$$a_1=\sqrt{\frac{n-1}{2}},
\qquad
a_2=\cdots=a_n=-\frac{1}{\sqrt{2(n-1)}},$$
即可取到等号。因此，$S$ 的最大值为
$$\boxed{\frac n2}.$$
解答原图
以下两张原图均包含完整解答。
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