Mathematical Reflections 2022年第二期征解题

Junior Problems

J583. 设𝑚和𝑛为正整数．求证：

公式：27^{2m+n+1}+27^{m+2n+1}-27^{m+n+1}+1

J584. 有理数𝑥，𝑦，𝑧满足3𝑥^(2)+2022𝑦𝑧−2016𝑧𝑥，3𝑦^(2)+2022𝑥𝑧−2016𝑥𝑦，𝑧^(2)+674𝑥𝑦−672𝑦𝑧均为有理数的平方．求证：𝑥=𝑦=𝑧=0．

J585. 实数𝑎,𝑏,𝑐>1满足

J586. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=𝐵𝐶，𝐴𝐷、𝐵𝐸、𝐶𝐹为三条高．以𝐵𝐷为直径的圆交𝐴𝐵于𝑀，交𝐵𝐸于𝑁．直线𝑀𝑁交𝐴𝐶于𝑄，交𝐶𝐹于𝑃．设线段𝐷𝐶的中点为𝑆．求证：△𝑆𝑄𝑃为等腰三角形．

J587. 𝑎，𝑏，𝑐均为非负实数，且至多一个为0．求证：

公式：\dfrac{a^2}{a^2+bc}+\dfrac{b^2}{b^2+ca}+\dfrac{c^2}{c^2+ab}+\dfrac{a^3+b^3+c^3+9abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 3.

J588. 求所有非负整数𝑥，𝑦，𝑧，使得

Senior Problems

S583. 求方程

公式：(2x^2-10x+50)(2y^2-10y+50)=2022^2

S584. 在任意△𝐴𝐵𝐶中，求证：

公式：(b+c)m_a+(c+a)m_b+(a+b)m_c\geq 3\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}.

S585. 不等边△𝐴𝐵𝐶的外接圆为Γ，𝑁为九点圆圆心．直线𝐴𝑁和Γ交于点𝐷．设𝑁_(1)为△𝐵𝐶𝐷的九点圆圆心．求证：𝐴、𝑁、𝑁_(1)、𝐷四点共线，且𝐴𝐷=2𝑁𝑁_(1)．

S586. 在任意三角形中，求证：

公式：(s^2+r^2+10Rr)(4R+r)\leq 8Rs^2.

S587. 凸四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶和𝐵𝐷交于点𝐸．点𝑀和点𝑁分别为边𝐴𝐵和𝐶𝐷的中点．线段𝑀𝑁和𝐴𝐶交于点𝑃，和𝐵𝐷交于点𝑄．求证：

公式：\dfrac{PQ}{MN}=\dfrac{|[BCE]-[ADE]|}{[ABCD]},

其中[𝑋𝑌𝑍]表示𝑋𝑌𝑍的面积．

S588. 求所有三元非负整数组(𝑎,𝑏,𝑐)，使得

Undergraduate Problems

U583. 给定整数𝑘≥1，设

公式：P_n(x)=x^n(x^k-x^{k-1}-\cdots-x-1)-1.

U584. 𝑚，𝑛，𝑝均为大于1的正整数．𝑝×𝑝的实矩阵𝐴满足𝐴^(𝑚)𝐵=𝐵𝐴^(𝑚)，𝐴^(𝑛)𝐵=𝐵𝐴^(𝑛)对任意𝑝×𝑝的实矩阵𝐵均成立．求证：若gcd(𝑚,𝑛)=1，则𝐴𝐵=𝐵𝐴对任意𝑝×𝑝的实矩阵𝐵均成立．

U585. 计算：

公式：\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[n^2\left(\zeta(2)-1-\dfrac{1}{2^2}-\cdots-\dfrac{1}{n^2}\right)-n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6n}\right].

U586. 求所有函数𝑓，𝑔：ℚ→ℝ，使得对任意𝑥,𝑦∈ℚ，都有

公式：f(x)f(x+y)=f(y)^2f(x-y)^2g(y).

U587. 对𝑥,𝑦≥5，证明：

公式：\left(\dfrac{1}{x}\right)^\frac{1}{x}\left(\dfrac{1}{y}\right)^\frac{1}{y}\leq\left(\dfrac{4}{x^2+y^2}\right)^\frac{2}{x+y}.

U588. 求证：

公式：\lim\limits_{n\to\infty}\beta^{-\frac{1}{n}}(n\pi,n\pi)=4^\pi,

Olympiad Problems

O583. 设𝑎，𝑏，𝑐为实数，求证：

公式：a^3+b^3+c^3-3abc\leq (a^2+b^2+c^2+2)^\frac{3}{2}-3(a+b+c),

O584. 设𝐴𝐵𝐶𝐷为圆外接四边形，𝐴𝐶和𝐵𝐷交于点𝑂．设𝑟_(1)、𝑟_(2)、𝑟_(3)、𝑟_(4)、𝑅_(1)、𝑅_(2)、𝑅_(3)、𝑅_(4)分别为△𝐴𝑂𝐵、△𝐵𝑂𝐶、△𝐶𝑂𝐷、△𝐷𝑂𝐴的内切圆半径和𝑂-旁切圆半径．求证：

公式：\dfrac{AB}{1-\frac{r_1}{R_1}}+\dfrac{CD}{1-\frac{r_3}{R_3}}=\dfrac{BC}{1-\frac{r_2}{R_2}}+\dfrac{DA}{1-\frac{r_4}{R_4}}.

O585. 在任意△𝐴𝐵𝐶中，求证：

公式：\dfrac{9}{16}\left(\dfrac{12r^2}{R^2}-1\right)\leq \sum\limits_{cyc}\cos A\sin B\sin C\leq \dfrac{9}{4}\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{r^2}{R^2}\right).

O586. 凸四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶和𝐵𝐷交于点𝐸．在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷外部构造△𝐴𝐵𝑃和△𝐶𝐷𝑄，使得∠𝑃𝐴𝐵=∠𝐷𝐴𝐸，∠𝑃𝐵𝐴=∠𝐶𝐵𝐸，∠𝑄𝐷𝐶=∠𝐴𝐷𝐸，∠𝑄𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐸．求证：𝑃，𝐸，𝑄三点共线．

O587. 设𝑎，𝑏，𝑐，𝑑均为正实数．求证：

公式：22a+25b+30c+30d\geq 360\sqrt[3]{\dfrac{abcd}{2a+5b+10c+30d}},

O588. 正实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑满足

公式：ab+ac+ad+bc+bd+cd+18\geq 6(a+b+c+d).