加拿大CRUX杂志问题4721-4730

4721. 众所周知，从帕斯卡三角（杨辉三角）中，若如下沿着对角线求和：

公式：\binom{n}{0}+\binom{n-1}{1}+\binom{n-2}{2}+\binom{n-3}{3}+\cdots

则可以得到斐波那契数列𝑓_(𝑛)，其满足递推关系𝑓_(𝑛)=𝑓_(𝑛−1)+𝑓_(𝑛−2)．
但如果以更小的斜率进行求和，结果会如何？如下定义𝑎_(𝑛)：

公式：a_n=\binom{n}{0}+\binom{n-1}{2}+\binom{n-2}{4}+\binom{n-3}{6}+\cdots

求证：𝑎_(𝑛)=𝑎_(𝑛−1)+𝑎_(𝑛−2)+𝑎_(𝑛−4)．

（由Greg Dresden 和 Myanna Nash供题）

4722. 设𝐼为三角形△𝐴𝐵𝐶的内心，𝐴^(′)，𝐵^(′)，𝐶^(′)分别为射线𝐴𝐼，𝐵𝐼，𝐶𝐼和三角形外接圆的交点．求证：𝑆_(△𝐴^(′)𝐵^(′)𝐶^(′))≥𝑆_(△𝐴𝐵𝐶)．

（由George Apostolopoulos供题）

4723. 数列{𝑢_(𝑛)}_(𝑛≥1)定义如下：𝑢_(1)=1，

      𝑢_(𝑛+1)=𝑢_(𝑛)+2^(2𝑛−1)⋅𝑢2𝑛．

      求{𝑢_(𝑛)}的通项公式．

（由Michel Bataille供题）

4724. 求所有𝑥，𝑦>0，使得

      公式：\dfrac{1}{(x+1)^8}+\dfrac{1}{(y+1)^8}=\dfrac{1}{8(xy+1)^4}．

（由D.M.Batinetu-Giurgiu和Daniel Sitaru供题）

4725. 求证：

      (3𝜋)/(4)<∫𝜋0√(sin𝑥)𝑑𝑥<(𝜋^(2))/(4)．

      提示：考虑摆线的图像．

（由Hidefumi Katsuura供题）

4726. 求极限：

      公式：\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^k}{k+1}\cdot 2^{n-k}\cdot\binom{n}{k}}．

（由Daniel Sitaru供题）

4727. 对任意𝑛≥0，求证：

      公式：\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}\left(\dfrac{5}{4}\right)^k=\dfrac{F_{6n+3}}{2^{2n+1}}，

      其中𝐹_(𝑛)为斐波那契数列．

（由Robert Frontczak供题）

4728. 设𝑥，𝑦，𝑧≥1．求证：

      公式：\dfrac{4xy}{(1+y)^2}+\dfrac{4yz}{(1+z)^2}+\dfrac{4zx}{(1+x)^2}\geq 3．

（由Antonio Garcia供题）

4729. 设实系数多项式𝑃的次数至少为2，已知𝑃没有重根，且至少有一个实根．求证：(𝑃^(′))/(𝑃)至少有一对共轭复根．

（由George Stoica供题）

4730. 设圆Γ的圆心为𝑂，半径为𝑟，𝑃为Γ外的一点，且𝑂𝑃<2𝑟．𝑂𝑃的垂直平分线和Γ交于𝑄和𝑅两点，线段𝑃𝑄交Γ于点𝐶．𝑃𝐶的垂直平分线和Γ交于𝐵和𝐵^(′)两点．射线𝑃𝐵^(′)，𝑃𝐵和𝑃𝑅分别和Γ交于点𝐴，𝐴^(′)和𝐶^(′)．求证：
      (1)△𝑃𝐴𝐵和△𝑃𝐴^(′)𝐵^(′)全等．
      (2)直线𝐴𝐴^(′)，𝐵𝐵^(′)，𝐶𝑅，𝑄𝐶^(′)和𝑃𝑂共点．

（由Ion Patrascu 和 Ion Cotoi供题）