加拿大CRUX杂志问题4801-4810

4801.

求所有函数𝑓：(0,∞)→ℝ，使得对任意𝑥,𝑦>0，都有

4802.

假设一个班级有2𝑛个学生，每个人开始时都有一定数量的糖果，且糖果的总数量是𝑛的倍数．在每一天，老师选择𝑛个学生，给他们每个人发放𝑐∈ℕ个糖果．求所需的最少天数，使得无论开始时如何分配糖果，老师总能让所有学生的糖果糖果数量变成一样．(注：𝑐可能每天都在变化)

4803.

求所有非负整数𝑎，𝑏，𝑐和素数𝑝，𝑞，使得

4804.

设锐角△𝐴𝐵𝐶的内心为𝐼，外心为𝑂．边𝐵𝐶上一点𝐷，满足𝐴𝐼⊥𝐼𝐷．设点𝑁为劣弧𝐵𝐶的中点，𝐷𝐴、𝐷𝑁和△𝐴𝐵𝐶的外接圆分别再次交于点𝐸、𝐹．设𝐸𝐹和𝐴𝐼交于点𝐺．求证：𝑂𝐼⊥𝐷𝐺．

4805.

正实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎=4𝑎𝑏𝑐．求证：

4806.

如下图所示，有三个全等的、不重叠的正六边形，这三个正六边形有一个公共顶点．如图所示连接顶点，这些线段围成一个阴影三角形．如果每个正六边形的边长为1，求阴影三角形的面积．

4807.

△𝐴𝐵𝐶内接于圆𝑂．点𝑀、𝑁、𝑃分别为边𝐵𝐶、𝐶𝐴、𝐴𝐵的中点．射线𝑃𝑂和圆(𝐴𝐵𝑀)交于点𝐸；射线𝑁𝑂和圆(𝐴𝐶𝑀)交于点𝐹．设𝐴𝐸和𝐴𝐹分别和圆(𝑀𝐸𝐹)再次交于点𝐺和𝐻．求证：𝐺𝐻、𝐸𝐹、𝐵𝐶三线共点．

4808.

求所有正整数𝑥，𝑦，𝑧，满足(𝑥,𝑦,𝑧)=1，且对𝑘∈{2,4,6}，都有𝑥+𝑦+𝑧∣𝑥^(𝑘)+𝑦^(𝑘)+𝑧^(𝑘)．

4809.

设𝑎，𝑏>0，求极限：

公式：\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n\left(\int_0^1 \frac{x^k}{a x+b} d x\right)^{-1}\left(\int_0^1 \frac{x^k}{b x+a} d x\right)^{-1}.

4810.

对𝑛>1，设𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)为正实数，且满足𝑎21+𝑎22+⋯+𝑎2𝑛=1．设𝑆=𝑎_(1)+𝑎_(2)+⋯+𝑎_(𝑛)，求证：

公式：\sum\limits_{i=1}^n\frac{1-a_i^2}{(S-a_i)^2}\geq \frac{n \sqrt{n}}{(n-1)^2}.