用万能公式代换解一道网红试题

解答：

由万能公式：sin𝜃=(2tan(𝜃)/(2))/(1+tan^(2)(𝜃)/(2))．

设𝑎=tan(𝐴)/(2)，𝑏=tan(𝐵)/(2)，𝑐=tan(𝐶)/(2)，则由三角形中的常见恒等式知𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎=1．

则条件变为(2𝑎)/(1+𝑎^(2))+(4𝑏)/(1+𝑏^(2))=(4𝑐)/(1+𝑐^(2))，

分母：公式：1+a^2=ab+bc+ca+a^2=(a+b)(a+c)，同理有另两式．

于是两边同乘以公分母(𝑎+𝑏)(𝑏+𝑐)(𝑐+𝑎)后，条件变为：

即𝑎𝑐=3𝑎𝑏，也即𝑐=3𝑏．

代入𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎=1，得：4𝑎𝑏+3𝑏^(2)=1，即𝑎=(1−3𝑏^(2))/(4𝑏)．

因此

公式：\begin{aligned} &\dfrac{1}{\sin A}+\dfrac{1}{\sin B}-\dfrac{1}{\sin C}\\ =&\dfrac{1+a^2}{2a}+\dfrac{1+b^2}{2b}-\dfrac{1+c^2}{2c}\\ =&\dfrac{1}{2a}+\dfrac{a}{2}+\left(\dfrac{1+b^2}{2b}-\dfrac{1+9b^2}{6b}\right)\\ =&\dfrac{1}{2a}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{1-3b^2}{3b}\\ =&\dfrac{1}{2a}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{4a}{3}\\ =&\dfrac{1}{2a}+\dfrac{11a}{6}\\ \ge&2\sqrt{\dfrac{1}{2a}\cdot\dfrac{11a}{6}}\\ =&\dfrac{\sqrt{33}}{3} \end{aligned}

当且仅当(1)/(2𝑎)=(11𝑎)/(6)即𝑎=√((3)/(11))时，等号成立．

故最小值为(33)/(3)．