齐次化思想在代数变形中的应用

解答：

公式：a^3+b^3+3ab=a^3+b^3+3ab(a+b)=(a+b)^3=1

分析： 若要证明以√(𝑎)，√(𝑏)，√(𝑐)为边长可以构成一个直角三角形，则需要证明𝑎+𝑏=𝑐或𝑏+𝑐=𝑎或𝑐+𝑎=𝑏，也即是证明(𝑎+𝑏−𝑐)(𝑏+𝑐−𝑎)(𝑐+𝑎−𝑏)=0．这是一个齐次式，而条件中的两个式子都是非齐次式，可以将两式相乘进行齐次化．

证明： 将条件式相乘得： 公式：(a+b+c)\left(\dfrac{b+c-a}{bc}+\dfrac{c+a-b}{ca}+\dfrac{a+b-c}{ab}\right)=8．

即公式：a\left[(b+c)^2-a^2\right]+b\left[(c+a)^2-b^2\right]+c\left[(a+b)^2-c^2\right]=8abc．

因式分解得：(𝑎+𝑏−𝑐)(𝑏+𝑐−𝑎)(𝑐+𝑎−𝑏)=0，证毕．

分析： 和第2题类似．

解答： 由𝑎^(2)+𝑏^(2)+𝑐^(2)+(1)/(4)𝑎𝑏𝑐=128得：公式：32\left(a^2+b^2+c^2+\dfrac{1}{4}abc\right)=4096，即公式：2\cdot 16(a^2+b^2+c^2)+8abc=16^3，也即公式：2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+8abc=(a+b+c)^3．展开整理得(𝑎+𝑏−𝑐)(𝑏+𝑐−𝑎)(𝑐+𝑎−𝑏)=0．又因为𝑎≤𝑏≤𝑐，所以𝑎+𝑏=𝑐，即𝑐=8．

分析： 先令待求式中产生𝑥，𝑦，𝑧，再利用条件进行齐次化．

解答：

公式：\begin{align*} &\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}\\ =&\dfrac{ax}{ax+x}+\dfrac{by}{by+y}+\dfrac{cz}{cz+z}\\ =&\dfrac{ax}{ax+by+cz}+\dfrac{by}{by+cz+ax}+\dfrac{cz}{cz+ax+by}\\ =&1 \end{align*}

分析： 将公式：5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=12\left(y+\dfrac{1}{y}\right)=13\left(z+\dfrac{1}{z}\right)中的1换成𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥，即可进行齐次化并因式分解．

解答： 公式：x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x^{2}+x y+y z+z x}{x}=\dfrac{(x+y)(x+z)}{x}．

故条件可变为 公式：5 y z(x+y)(x+z)=12 x z(y+x)(y+z)=13 x y(z+x)(z+y)．

设公式：\left\{\begin{array}{l}x(y+z)=a \\ y(z+x)=b \\ z(x+y)=c\end{array}\right.，则𝑎+𝑏+𝑐=2，且5𝑏𝑐=12𝑐𝑎=13𝑎𝑏，即(5)/(𝑎)=(12)/(𝑏)=(13)/(𝑐)=𝑘．代入𝑎+𝑏+𝑐=2得𝑘=15．

进而 公式：\left\{\begin{array}{l}x y+x z=\dfrac{5}{15} \\ y z+x y=\dfrac{12}{15} \\ z x+z y=\dfrac{13}{15}\end{array}\right.，即 公式：\left\{\begin{array}{l}y z=\dfrac{10}{15} \\ z x=\dfrac{3}{15} \\ x y=\dfrac{2}{15}\end{array}\right.．

三式相乘，得公式：x y z=\pm \sqrt{\dfrac{10}{15} \cdot \dfrac{3}{15} \cdot \dfrac{2}{15}}=\pm \dfrac{2}{15}，故原方程组有两组解：((1)/(5),(2)/(3),1) 和 (−(1)/(5),−(2)/(3),−1)．

分析： 对于𝑎𝑏𝑐=1这类条件，可设𝑎=(𝑞)/(𝑝)，𝑏=(𝑟)/(𝑞)，由𝑎𝑏𝑐=1可得𝑐=(𝑝)/(𝑟)．从而进行齐次化．

解答： 同分析中进行换元．

公式：\begin{align*} &\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc}+\dfrac{1}{1+c+ca}\\ =&\dfrac{1}{1+\dfrac{q}{p}+\dfrac{r}{p}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{r}{q}+\dfrac{p}{q}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{p}{r}+\dfrac{q}{r}}\\ =&\frac{p}{p+q+r}+\frac{q}{p+q+r}+\frac{r}{p+q+r}\\ =&1 \end{align*}

分析： 若仿照上题换元，则会发现方法失效了．因为本题分母的次数还是比较均匀的，只有一项1不齐次．这里选择进行升次后再将1代换，进行齐次化．

证明： 设𝑎=𝑥^(3)，𝑏=𝑦^(3)，𝑐=𝑧^(3)，则𝑎𝑏𝑐=𝑥^(3)𝑦^(3)𝑧^(3)=1，即𝑥𝑦𝑧=1．

于是公式：\dfrac{1}{a+b+1}=\dfrac{x y z}{x^{3}+y^{3}+x y z} \leq \dfrac{x y z}{x^{2} y+x y^{2}+x y z}=\dfrac{z}{x+y+z}．

同理有(1)/(𝑏+𝑐+1)≤(𝑥)/(𝑥+𝑦+𝑧)，(1)/(𝑐+𝑎+1)≤(𝑦)/(𝑥+𝑦+𝑧)，三式相加即证．

对于齐𝑚次式𝑓(𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛))=0，将𝑎_(𝑖)换成𝑘𝑎_(𝑖)，得到𝑓(𝑘𝑎_(1),𝑘𝑎_(2),⋯,𝑘𝑎_(𝑛))=0，即𝑘^(𝑚)𝑓(𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(𝑛))=0．因此我们可以不妨设和为1，积为1等，将问题进行简化．

分析： 待证式过于复杂，可由齐次性将其中某部分设为常数．

证明： 由齐次性不妨设𝑎+𝑏+𝑐=1，故只需证：公式：\sqrt{a b c}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+1 \geq 4 \sqrt{3 a b c}．

即证√(𝑎)+√(𝑏)+√(𝑐)+(1)/(√(𝑎𝑏𝑐))≥4√(3)．

公式：\begin{align*} &\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\dfrac{1}{\sqrt{a b c}}\\ =&\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+9\cdot \dfrac{1}{9\sqrt{abc}}\\ \geq&12\sqrt[12]{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\cdot\sqrt{c}\cdot\left(\dfrac{1}{9\sqrt{abc}}\right)^9}\\ =&\dfrac{4\sqrt{3}}{3\sqrt[3]{abc}}\\ \geq&\dfrac{4\sqrt{3}}{a+b+c}\\ =&4\sqrt{3} \end{align*}

证毕．