15道数学竞赛中的方程（组）问题

1. （2006年加拿大数学奥林匹克） 解方程组：

   公式：v_{i}=1+\dfrac{6v_{i}^{2}}{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{10}^{2}}(1\leq i\leq 10).
2. （2016年ELMO） 求所有的正整数𝑛，使得存在2𝑛个不全相同的实数𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(2𝑛)，满足其中任意𝑛个之和等于另𝑛个之积．
3. （2021年美国数学奥林匹克） 设整数𝑛≥4，求如下方程组的正实数解：

公式：\begin{aligned} a_{1} &=\frac{1}{a_{2 n}}+\frac{1}{a_{2}}, & a_{2}&=a_{1}+a_{3}, \\ a_{3}&=\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{4}}, & a_{4}&=a_{3}+a_{5}, \\ a_{5}&=\frac{1}{a_{4}}+\frac{1}{a_{6}}, & a_{6}&=a_{5}+a_{7} \\ &\vdots & &\vdots \\ a_{2 n-1}&=\frac{1}{a_{2 n-2}}+\frac{1}{a_{2 n}}, & a_{2 n}&=a_{2 n-1}+a_{1} \end{aligned}

4. （2006年美国数学奥林匹克） 求所有的实数𝑥,𝑦,𝑧≥1，满足

公式：\min\{\sqrt{x+xyz},\sqrt{y+xyz},\sqrt{z+xyz}\}=\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}.

5. (2019年欧洲女子数学奥林匹克) 求满足下述条件的所有三元有序实数组(𝑎,𝑏,𝑐)：

公式：a^{2}b+c=b^{2}c+a=c^{2}a+b,ab+bc+ca=1.

6. (2009年亚太地区数学奥林匹克) 设实数𝑎_(1)，𝑎_(2)，𝑎_(3)，𝑎_(4)，𝑎_(5)满足，对𝑘=1,2,3,4,5，

   公式：\dfrac{a_{1}}{k^{2}+1}+\dfrac{a_{2}}{k^{2}+2}+\dfrac{a_{3}}{k^{2}+3}+\dfrac{a_{4}}{k^{2}+4}+\dfrac{a_{5}}{k^{2}+5}=\dfrac{1}{k^{2}}.

   求公式：\dfrac{a_{1}}{37}+\dfrac{a_{2}}{38}+\dfrac{a_{3}}{39}+\dfrac{a_{4}}{40}+\dfrac{a_{5}}{41}的值．
7. (2006年中国西部数学奥林匹克) 求满足下述条件的最小正实数𝑘：对任意不小于𝑘的4个互不相同的实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，都存在𝑎，𝑏，𝑐，𝑑的一个排列𝑝，𝑞，𝑟，𝑠，使得方程(𝑥^(2)+𝑝𝑥+𝑞)(𝑥^(2)+𝑟𝑥+𝑠)=0有4个互不相同的实根．
8. (2005年中国女子数学奥林匹克) 解方程组：

公式：\left\{ \begin{aligned} &5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=12\left(y+\dfrac{1}{y}\right)=13\left(z+\dfrac{1}{z}\right)\\ &xy+yz+zx=1\\ \end{aligned} \right.

9. (2006年全国高中数学联赛) 解方程组：

公式：\left\{ \begin{aligned} &x-y+z=w=2\\ &x^{2}-y^{2}+z^{2}-w^{2}=6\\ &x^{3}-y^{3}+z^{3}-w^{3}=20\\ &x^{4}-y^{4}+z^{4}-w^{4}=66\\ \end{aligned} \right.

10. (根源杯模拟题15) 实数范围内求解方程组：

公式：\left\{ \begin{aligned} &1-x_{1}^{2}=x_{2}\\ &1-x_{2}^{2}=x_{3}\\ &\cdots\\ &1-x_{2n-1}^{2}=x_{2n}\\ &1-x_{2n}^{2}=x_{1}\\ \end{aligned} \right.

11. 正整数𝑛≥2，互不相等的非零实数𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)满足：

    公式：a_{1}+\dfrac{1}{a_{2}}=a_{2}+\dfrac{1}{a_{3}}=\cdots=a_{n}+\dfrac{1}{a_{1}}=t

    求实数𝑡的值．
12. (2020年越南数学奥林匹克) 以𝑎为参数的方程组：

公式：\left\{ \begin{aligned} &x-ay=yz\\ &y-az=zx\\ &z-ax=xy\\ \end{aligned} \right. (x,y,z\in\mathbb{R}).

• 当𝑎=0时，解这个方程组；
• 证明：当𝑎>1时该方程组有5组解．

13. (2021年百子S9) 求所有的正整数𝑛，使得方程组

公式：\left\{ \begin{aligned} &x+y+z=3\\ &x^{2}+y^{2}+z^{2}=3\\ &x^{n}+y^{n}+z^{n}=3\\ \end{aligned} \right. (x,y,z\in\mathbb{C})

只有唯一解𝑥=𝑦=𝑧=1．

14. (1995年土耳其国家队选拔) 给定实数𝑏≥𝑎>0，在复数范围内解方程组：

公式：\left\{ \begin{align*} &x_1^2+2ax_1+b^2=x_2,\\ &x_2^2+2ax_2+b^2=x_3,\\ &\qquad\cdots\cdots\cdots\\ &x_n^2+2ax_n+b^2=x_1. \end{align*} \right.

15. （1979年国际数学奥林匹克） 求所有满足条件的实数𝑎，使得存在非负实数𝑥_(1)，𝑥_(2)，𝑥_(3)，𝑥_(4)，𝑥_(5)满足关系：∑_(𝑘=1)^(5)𝑘𝑥_(𝑘)=𝑎，∑_(𝑘=1)^(5)𝑘^(3)𝑥_(𝑘)=𝑎^(2)，∑_(𝑘=1)^(5)𝑘^(5)𝑥_(𝑘)=𝑎^(3)．