一道复数方程组问题

解答： 显然方程组有解(𝑥,𝑦,𝑧)=(1,1,1)．

当𝑛=1、2时，容易知道(𝑥,𝑦,𝑧)=(2,1+𝜔,1+𝜔^(2))(𝜔=−(1)/(2)+(√(3))/(2)i)也是方程组的解．

对于𝑛⩾3，如果(𝑥,𝑦,𝑧)是方程组的解，那么𝑥、𝑦、𝑧是多项式公式：p(X)=X^{3}-\sigma_{1} X^{2}+\sigma_{2} X-\sigma_{3}的根,其中

公式：\left\{ \begin{aligned} &\sigma_{1}=x+y+z=3 \\ &\sigma_{2}=x y+y z+z x=\frac{1}{2}\left((x+y+z)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\right)=3 \\ &\sigma_{3}=x y z \end{aligned} \right.

所以公式：p(X)=X^{3}-3 X^{2}+3 X-\sigma_{3}．

设𝑠_(𝑛)=𝑥^(𝑛)+𝑦^(𝑛)+𝑧^(𝑛)．由𝑝(𝑥)=𝑥^(3)−3𝑥^(2)+3𝑥−𝜎_(3)=0，得𝑥^(3)=3𝑥^(2)−3𝑥+𝜎_(3)，同理可得𝑦^(3)=3𝑦^(2)−3𝑦+𝜎_(3)，𝑧^(3)=3𝑧^(2)−3𝑧+𝜎_(3)．故

公式：\begin{aligned} &s_{3}=3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-3(x+y+z)+3 \sigma_{3}=3 \sigma_{3}, \\ &s_{4}=3\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right)-3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+3 \sigma_{3}(x+y+z)=12 \sigma_{3}-9, \end{aligned}

同理可得𝑠_(5)=30𝜎_(3)−27．

故由𝑠_(3)=3，𝑠_(4)=3，𝑠_(5)=3均可得到𝜎_(3)=1，此时𝑝(𝑋)=(𝑋−1)^(3)只有唯一解 𝑥=𝑦=𝑧=1．

设𝑛⩾6，𝑚=[(𝑛)/(3)]，注意到𝑚⩾2，选取多项式

公式：q_{n}(X)=\mathrm{C}_{n}^{3 m} X^{m-1}+\mathrm{C}_{n}^{3 m-3} X^{m-2}+\cdots+\mathrm{C}_{n}^{6} X+\mathrm{C}_{n}^{3}

的一个复数根𝑟，取满足条件𝜌^(3)=𝑟的𝜌．

我们证明𝑥=1+𝜌、𝑦=1+𝜔𝜌，𝑧=1+𝜔𝜌^(2)也是方程组的一组解．

显然，𝑥+𝑦+𝑧=3+𝜌(1+𝜔+𝜔^(2))=3，同样𝑥^(2)+𝑦^(2)+𝑧^(2)=3．易知

公式：\begin{aligned} 1+\omega^{k}+\omega^{2 k} &=3 \quad(k \equiv 0\pmod 3), \\ 1+\omega^{k}+\omega^{2 k} &=0 \quad(k \equiv 1\text{、}2\pmod 3),\\ x^{n}+y^{n}+z^{n} &=(1+\rho)^{n}+(1+\rho \omega)^{n}+\left(1+\rho \omega^{2}\right)^{n} \\ &=3+\sum_{k=1}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} \rho^{k}\left(1+\omega^{k}+\omega^{2 k}\right) \\ &=3+3 \sum_{j=1}^{m} \mathrm{C}_{n}^{3 j} \rho^{3 j}=3+3 r q_{n}(r)=3 . \end{aligned}

于是，所有的𝑛为3、4、5．