2021年拉特飞·扎德数学奥林匹克

拉特飞·扎德（Lotfi Zadeh，1921年2月-2017年9月6日），男，生于现阿塞拜疆的首都巴库，“模糊集之父”。博士，教授，美国国家工程院院士、俄罗斯自然科学院外籍院士、是1994年成立的国际欧亚科学院的5位创始院士之一。先后毕业于德黑兰大学、麻省理工学院、哥伦比亚大学。1965年提出"模糊集”。该理论在很多领域得到应用，并影响了数学、物理、化学等学科。2017年9月6日，扎德去世，享年96岁。

1. 在圆内接四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃为对角线交点，𝑀为弧𝐴𝐵的中点．证明：直线𝑀𝑃过线段𝐶𝐷的中点，当且仅当𝐴𝐵和𝐶𝐷平行．
2. 设𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)和𝑏_(1)，𝑏_(2)，⋯，𝑏_(𝑛)均为正整数（可以相同）．对于任意整数𝑖>𝑛，令𝑎_(𝑖)为不在𝑏_(1)，𝑏_(2)，⋯，𝑏_(𝑖−1)中出现的最小正整数，𝑏_(𝑖)为不在𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑖−1)中出现的最小正整数．求证：存在整数𝑁，使得对任意𝑖>𝑁，都有𝑎_(𝑖)=𝑏_(𝑖)，或者对任意𝑖>𝑁，都有𝑎_(𝑖+1)=𝑎_(𝑖)．
3. 𝑎，𝑏，𝑐为互不相同的正整数，求分式

   公式：\dfrac{{\rm{lcm}}(a,b)+{\rm{lcm}}(b,c)+{\rm{lcm}}(c,a)}{\gcd(a,b)+\gcd(b,c)+\gcd(c,a)}

   的最小可能值．
4. 求满足下述条件，且由0和1构成的长度为𝑛的数列的个数：

• 存在一个简单多边形（即不相邻的边不相交的多边形），当且仅当数列的第𝑖项为1时，该多边形的第𝑖个角小于180^(∘)．
• 存在一个凸多边形，当且仅当数列的第𝑖项为1时，该多边形的第𝑖个角小于90^(∘)．