2021年第一届OIMC模拟赛（勘误）

OIMC(Online International Mathematical Cup)是一个形式与IMO相同的在线模拟赛，第一届于2021年八月举办．

第一天

1. 设ℓ_(1)，ℓ_(2)，⋯，ℓ_(𝑘)为平面上𝑘条(𝑘≥4)互相平行的直线．P为由这些直线上的若干个点组成的集合，每条直线ℓ_(𝑖)上至少有两个点．已知对P中任意不共线的三点𝐴，𝐵，𝐶（其中任意两点不在同一条ℓ_(𝑖)上），存在点𝑃∈P，使得𝑃在△𝐴𝐵𝐶的边界上．求证：P为无限集．
2. 设素数𝑝>3，正整数𝑚满足𝑝∣𝑚^(2)−𝑚+1．设𝑃(𝑥)=∑_(𝑖=1)^(𝑝−1)(𝑥^(𝑖))/(𝑖)，求证：𝑝整除既约分数𝑃(𝑚)的分子．
3. 已知𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺为正七边形，P为一条同时与直线𝐴𝐵，𝐶𝐷，𝐷𝐸，𝐸𝐹相切的抛物线．求证：𝐸𝐹与P的切点在直线𝐴𝐷上．

第二天

4. 求所有函数𝑓：ℝ→ℝ，满足对任意实数𝑥，𝑦，都有

   公式：f(x+y)f(x+f(y))=x^2+f(y^2).
5. 设𝐻为△𝐴𝐵𝐶的垂心，𝐴𝐻和△𝐴𝐵𝐶的外接圆交于点𝐻_(𝐴)．点𝐴^(′)为点𝐴关于𝐵𝐶的对称点．点𝐻_(𝐵)和𝐻_(𝐶)分别为点𝐻在直线𝐴^(′)𝐵和𝐴^(′)𝐶上的射影．设𝑇为直线𝐵𝐻_(𝐶)和直线𝐶𝐻_(𝐵)的交点．求证：𝑇𝐻_(𝐴)和△𝐴𝐵𝐶的外接圆相切．
6. 设正整数𝑛≥2，在一个面积为1的桌面上，有2𝑛块形状任意的纸片．这些纸片的面积之和为𝑛，且所有的纸片都完全在桌面的内部．求证：必存在两块纸片的重叠部分面积至少为(1)/(4)(1−(1)/(𝑛))．