赛题翻译
2021年MMO模拟赛
公众号原标题：2021年MMO模拟赛——中文翻译（显示标题做过精简）
正文文字 400 字公式 53 处
2022盏不同的灯均匀分布在一个圆周上．第一天，其中一部分的灯亮着．在此后的任意一天，当且仅当某盏灯的左右两盏灯恰有一盏在前一天亮着时，该灯被点亮．否则，它不被点亮．
求第一天可以点亮的灯的所有可能方法数，使得在之后的每一天，亮着的灯的集合不同于第一天亮着的灯的集合．求所有函数𝑓：ℕ→ℕ，使得对任意𝑥>2，𝑦>3， 
公式：\dfrac{4f(x)f(y-3)}{f(y)f(x-2)+f(x)f(y-2)}设△𝐴𝐵𝐶为不等边三角形．有三个圆：第一个圆心在𝐵𝐶上且过点𝐴，第二个圆心在𝐶𝐴上且过点𝐵，第三个圆心在𝐴𝐵上且过点𝐶．已知这三个圆有一条公共的根轴，求证：△𝐴𝐵𝐶的外心在这条根轴上． △𝐴𝐵𝐶的外接圆为𝜔．𝐷在线段𝐵𝐶上，𝐸在𝐴𝐶上，使得𝐴𝐵𝐷𝐸四点共圆；𝐹在𝐴𝐵上，使得𝐴𝐶𝐷𝐹四点共圆．直线𝐸𝐹和𝐵𝐶交于点𝑃．点𝑄在𝐸𝐹上，满足𝑄𝐷⊥𝐵𝐶．𝐴𝑄和𝜔交于另一点𝑅．求证：当点𝐷在𝐵𝐶上运动时，𝑃𝑅和𝜔的交点为定点． 设整系数多项式 
公式：P(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0无整数根．其导数𝑃^(′)(𝑥)=3𝑎_(3)𝑥^(2)+2𝑎_(2)𝑥+𝑎_(1)，已知存在整系数多项式𝑈(𝑥)，𝑉(𝑥)，使得𝑈(𝑥)𝑃(𝑥)−𝑉(𝑥)𝑃^(′)(𝑥)=1 对任意𝑥恒成立．且对任意𝑥∈ℤ，𝑃(𝑥)的值均为奇数．求证：存在无穷多个整数𝑛，使得不存在相异素数𝑝，𝑞，满足(𝑝𝑞)^(2)∣𝑃(𝑛)．设𝑝为素数．开始时，K-pop组合中有𝑝^(4)个女孩．在每周，所有女孩被平均分为𝑝^(2)组，每组表演一个舞蹈．请构造一个具体的安排方式，使得在𝑝^(2)+1周后，每个女孩恰好与其他女孩均跳过一次舞（即被分到过同一组）．
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