2021年第一届OJIMC模拟赛

昨天发的OIMC的初中版，即Online Junior International Mathematical Cup．

第一天

1. 求所有函数𝑓：ℝ→ℝ，使得对于任意实数𝑥，𝑦，都有

   公式：xf(y)+f(x+y)\geq(y+1)f(x)+f(y).
2. 称整系数多项式𝑃为"𝑖-好"的，如果𝑖和𝑃(𝑖)中恰有一个数能被写为两个完全平方数之和．求证：对于任意正整数𝑛，存在多项式𝑃，使得𝑃对任意的𝑖∈{1,2,⋯,𝑛}，都是"𝑖-好"的．是否存在多项式，对于任意𝑖∈ℕ，都是"𝑖-好"的？
3. Alice有𝑛袋硬币（可能为空），依次标记为1到𝑛．她进行如下的操作：在第𝑘次操作中，她列出所有硬币数严格少于第𝑘袋（模𝑛意义下）但与第𝑘袋硬币数之差严格小于𝑛的所有袋子．
   如果至少有一个被列出的袋子，Alice则从每个被列出的袋子中拿出一枚硬币，并全部放入第𝑘个袋子中．否则，从第𝑘个袋子中拿出𝑛−1枚硬币，分别放入其它袋子中（每个袋子放入一枚）．
   如果在某个时间点，Alice无法继续进行移动，则操作终止．问Alice至多能有多少枚硬币，才能使得无论将它们如何分配到𝑛个袋子中，操作都会在有限次内终止？

第二天

4. 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=75^(∘)，∠𝐵=60^(∘)，∠𝐶=45^(∘)．设𝑁_(9)为△𝐴𝐵𝐶的九点圆圆心，𝑀为𝐴𝐶的中点．求直线𝐴𝑁_(9)和𝐵𝑀所夹的锐角的度数．
5. 用1×2021的砖块来覆盖一个固定的网格多边形．求证：无论如何覆盖，左下角顶点的横、纵坐标之和能被2021整除的砖块数量为一个常数（由多边形决定）．
6. 𝑎，𝑏，𝑐为正实数，对任意正整数𝑛，求证：

公式：\sum\limits_{cyc}\left(\dfrac{4a^2+2ab}{3a+3b}\right)^n\geq\sum\limits_{cyc} a^n.