40道2021年沙特阿拉伯IMO集训队训练题

设△𝐴𝐵𝐶为一个非等腰的锐角三角形，𝐴𝐷，𝐵𝐸，𝐶𝐹分别为三边的高，𝐻为垂心，𝑑为△𝐴𝐵𝐶外接圆在点𝐴处的切线．过点𝐻作𝐸𝐹的平行线，分别交𝐷𝐸于点𝑄，交𝐷𝐹于点𝑃．求证：直线𝑑和△𝐷𝑃𝑄的𝐷-旁切圆相切．

设△𝐴𝐵𝐶为一个非等腰的锐角三角形，𝐻为垂心，𝑂为外心，𝐴𝐷为圆𝑂的直径．设圆(𝐴𝐻𝐷)交𝐴𝐵于另一点𝐸，交𝐴𝐶于另一点𝐹．记𝐽和𝐾分别为△𝐴𝐸𝐹的垂心和九点圆圆心．求证：𝐻𝐽//𝐵𝐶，且𝐾𝑂=𝐾𝐻．

设△𝐴𝐵𝐶为一个非等腰的锐角三角形，𝑂为外心，𝐵𝐵^(′)和𝐶𝐶^(′)为高．记𝐵𝐵^(′)交圆𝑂于另一点𝐸，𝐶𝐶^(′)交圆𝑂于另一点𝐹．点𝐴在𝐵𝐶，𝐶𝐸，𝐵𝐹上的射影分别为𝐷，𝑃，𝑄．求证：𝑃𝑄的垂直平分线平分线段𝐴𝑂和𝐵𝐶．

设△𝐴𝐵𝐶的内切圆⊙𝐼和𝐵𝐶，𝐶𝐴，𝐴𝐵分别切于点𝐷，𝐸，𝐹．在直线𝐷𝐹上取点𝑀，𝑃，使得𝐶𝑀//𝐴𝐵，𝐴𝑃//𝐵𝐶．在直线𝐷𝐸上取点𝑁，𝑄，使得𝐵𝑁//𝐴𝐶，𝐴𝑄//𝐵𝐶．记𝑋为𝑃𝐸和𝑄𝐹的交点，𝐾为线段𝐵𝐶的中点．求证：若𝐴𝑋=𝐼𝐾，则∠𝐵𝐴𝐶≤60^(∘)．

在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝑃在线段𝐴𝐶上．记𝑄为圆(𝑃𝐴𝐵)的劣弧𝑃𝐵上的一点，且满足𝑄𝐵=𝑄𝐶．记𝑅为圆(𝑃𝐴𝐷)的劣弧𝑃𝐷上的一点，且满足𝑅𝐶=𝑅𝐷．直线𝐶𝐵和圆(𝐶𝑄𝑅)交于另一点𝑀，直线𝐶𝐷和圆(𝐶𝑄𝑅)交于另一点𝑁．求证：𝐵𝑀=𝐷𝑁．

过⊙𝑂外一点𝐴作⊙𝑂的两条切线𝐴𝐵，𝐴𝐶．⊙𝑂上三点𝐷，𝐸，𝑀满足𝑀𝐷=𝑀𝐸．直线𝐷𝐸交𝑀𝐵于点𝑅，交𝑀𝐶于点𝑆．在𝑂𝐵上取一点𝑋，在𝑂𝐶上取一点𝑌，使得𝑅𝑋⊥𝐷𝐸，𝑆𝑌⊥𝐷𝐸．求证：𝑋𝑌⊥𝐴𝑀．

设𝐴𝐴_(0)为等腰三角形△𝐴𝐵𝐶（𝐴𝐵=𝐴𝐶）的高．以𝐴𝐴_(0)的中点为圆心的圆𝛾和𝐴𝐵，𝐴𝐶相切．设𝑋为直线𝐵𝐶上任意一个定点，过𝑋作𝛾的两条切线，分别交𝐴𝐵，𝐴𝐶于点𝐷，𝐸，证明：𝐴𝐷=𝐶𝐸．

设△𝐴𝐵𝐶为一个非等腰三角形，内切圆为⊙𝐼，外接圆为⊙𝑂，点𝐷在线段𝐵𝐶上，圆(𝐵𝐼𝐷)交𝐴𝐵于另一点𝐸，圆(𝐶𝐼𝐷)交𝐴𝐶于另一点𝐹，圆(𝐷𝐸𝐹)交𝐴𝐵于另一点𝑀，交𝐴𝐶于另一点𝑁．𝐼𝐵和𝐷𝐸交于点𝑃，𝐼𝐶和𝐷𝐹交于点𝑄．求证：𝐸𝑁，𝐹𝑀，𝑃𝑄三线平行，且△𝐼𝑃𝑄中顶点𝐼所对应的中线平分⊙𝑂中的弧𝐵𝐴𝐶．

设△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂，𝐾𝐿为⊙中过𝐴𝐵中点𝑀的直径（𝐿，𝐶在𝐴𝐵异侧）．过点𝑀，𝐾的一个圆交𝐿𝐶于𝑃，𝑄两点（𝑃在𝑄，𝐶之间）．直线𝐾𝑄交圆(𝐿𝑀𝑄)于另一点𝑅．求证：𝐴、𝑅、𝐵、𝑃四点共圆，且𝐴𝐵为△𝐴𝑃𝑅的类似中线．

𝐴𝐵为⊙𝑂的一条弦，记𝑀为劣弧𝐴𝐵的中点．⊙𝑂^(′)和𝐴𝐵相切，和⊙𝑂内切．过点𝑀分别作𝑂^(′)𝐴，𝑂^(′)𝐵的垂线，交𝐴𝐵于点𝐶，𝐷．求证：𝐴𝐵=2𝐶𝐷．

三个圆𝜔_(1)，𝜔_(2)，𝜔_(3)分别和直线𝑙相切于点𝐴，𝐵，𝐶（𝐵在𝐴，𝐶之间），且𝜔_(2)和𝜔_(1)，𝜔_(3)均外切．设𝑋、𝑌分别为𝜔_(2)与𝜔_(1)、𝜔_(3)另一条外公切线在𝜔_(2)上的切点．过点𝐵作𝑙的垂线交𝜔_(2)于另一点𝑍．求证：以𝐴𝐶为直径的圆和直线𝑍𝑋，𝑍𝑌相切．

设△𝐴𝐵𝐶的外心为𝑂，内心为𝐼，顶点𝐴所对的旁心为𝐽．记点𝐷为⊙𝐼在边𝐵𝐶上的切点，∠𝐵𝐴𝐶的平分线和𝐵𝐶交于点𝐸，和⊙𝑂交于点𝐹．圆(𝐷𝐸𝐹)和圆𝑂交于另一点𝑇．求证：直线𝐴𝑇过圆𝐽和圆(𝐷𝐸𝐹)的一个交点．

在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴=∠𝐵=90^(∘)，𝐴𝐵=𝐴𝐷．记𝐴𝐷的中点为点𝐸，𝐶𝐷=𝐵𝐶+𝐴𝐷，𝐴𝐷>𝐵𝐶．求证：∠𝐴𝐷𝐶=2∠𝐴𝐵𝐸．

设𝐵𝐶为圆𝜔上一条固定的弦，𝐴为优弧𝐵𝐶上一个动点．点𝐻为△𝐴𝐵𝐶的垂心，点𝐷在𝐴𝐵上，点𝐸在𝐴𝐶上，且满足𝐻为𝐷𝐸的中点．求证：随着𝐴的变化，△𝐴𝐷𝐸的外心𝑂_(𝐴)在一个定圆上运动．

凸四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内部一点𝑋满足𝑋𝐴⋅𝑋𝐶^(2)=𝑋𝐵⋅𝑋𝐷^(2)，∠𝐴𝑋𝐷+∠𝐵𝑋𝐶=∠𝐶𝑋𝐷．求证：公式：\angle XAD + \angle XCD = \angle XBC + \angle XDC．

设△𝐴𝐵𝐶为一个非等腰的锐角三角形，外心为𝑂，内心为𝐼，内切圆⊙𝐼分别和𝐵𝐶，𝐶𝐴，𝐴𝐵切于点𝐷，𝐸，𝐹．设直线𝐸𝐹和⊙𝑂交于𝑃，𝑄两点，求证：圆(𝑃𝑄𝐷)平分过线段𝐵𝐶的中点．

设△𝐴𝐵𝐶为一个非等腰的锐角三角形，外心为𝑂．⊙𝑂在𝐵，𝐶两点处的切线交于点𝑇．过𝑇的直线交线段𝐴𝐵于点𝐷，交射线𝐶𝐴于点𝐸．𝑀为𝐷𝐸的中点，𝑀𝐴交⊙𝑂于另一点𝐾．求证：圆(𝑀𝐾𝑇)和圆𝑂相切．

在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵<𝐴𝐶，内切圆𝐼和𝐵𝐶切于点𝐷．𝐴𝐷上一点𝐾满足𝐶𝐷=𝐶𝐾．设𝐴𝐷和⊙𝐼交于另一点𝐺，𝐵𝐺和𝐶𝐾交于点𝐿．求证：𝐾为𝐶𝐿的中点．

在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵<𝐴𝐶，外接圆为⊙𝑂在点𝐴处的切线和𝐵𝐶交于点𝐷．设点𝐴在𝑂𝐷上的射影为𝐻，𝐻在𝐴𝐵上的射影为𝐸，𝐻在𝐴𝐶上的射影为𝐹．直线𝐸𝐹和⊙𝑂交于𝑅，𝑆两点，求证：圆(𝐻𝑅𝑆)和𝑂𝐷相切．

设△𝐴𝐵𝐶为一个非等腰的锐角三角形，𝐴𝐷为一条高，𝑀为𝐴𝐷的中点，𝑂为外心．直线𝐴𝑂和𝐵𝐶交于点𝐾，以点𝐾为圆心，𝐾𝐴为半径的圆和𝐴𝐵交于另一点𝐸，和𝐴𝐶交于另一点𝐹．求证：𝐴𝑂平分𝐸𝐹．

四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于圆𝑂，对角线𝐴𝐶和𝐵𝐷交于点𝐼，射线𝐷𝐴和𝐶𝐵交于点𝐸，射线𝐵𝐴和𝐶𝐷交于点𝐹．四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的牛顿线分别交𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐷，𝐷𝐴于点𝑀，𝑁，𝑃，𝑄．求证：以𝑂𝐼为直径的圆和圆(𝐸𝑁𝑄)，圆(𝐹𝑀𝑃)均相切．

𝐴𝐷，𝐵𝐸，𝐶𝐹为非等腰三角形△𝐴𝐵𝐶的三条高，垂心为𝐻．设𝐷𝐹和𝐻𝐵交于点𝑀，𝐷𝐸和𝐻𝐶交于点𝑁，点𝑇为△𝐻𝐵𝐶的外心．求证：𝐴𝑇⊥𝑀𝑁．

△𝐴𝐵𝐶的陪位重心为点𝐿，外接圆半径为𝑅．作平行四边形𝐴𝐷𝐿𝐸，𝐵𝐻𝐿𝐾，𝐶𝐼𝐿𝐾，使得𝐷,𝐻∈𝐴𝐵，𝐾,𝐼∈𝐵𝐶，𝐽,𝐸∈𝐶𝐴．设𝐷𝐸，𝐻𝐾，𝐼𝐽两两相交于点𝑋，𝑌，𝑍．求证：△𝑋𝑌𝑍的内切圆半径为(𝑅)/(2)．

在△𝐴𝐵𝐶中，𝑀为𝐵𝐶的中点，𝑋为𝐵所对的旁心，𝑌为𝐶所对的旁心．求证：𝑀𝑋，𝑀𝑌和𝐴𝐵，𝐴𝐶的四个交点共圆．

魔术师和他的助手表演一个魔术．观众在黑板上写下一个𝑁位数，然后助手盖住一些相邻的数位，使它们无法被看见．最后，魔术师进入节目，他看向黑板并猜测被盖住的数字及其顺序．已知魔术师和助手可以提前商量策略，求最小的𝑁，使得魔术师总能猜对．

给定一个无穷数列𝑎_(1)，𝑎_(2)，𝑎_(3)，⋯，满足对任意正整数𝑘，存在正整数𝑡使得𝑎_(𝑘)=𝑎_(𝑘+𝑡)=𝑎_(𝑘+2𝑡)=⋯．问：这个数列是否一定为周期数列？

𝑁个人中的每个人都从一个23元集合中选择了5个元素，使得任意两个人至多选择了3个相同的元素．问：是否一定有𝑁≤2020？将23改为25，再回答本题．

求所有正整数𝑛≥3，使得能在正𝑛边形的每个顶点不重复地写上数字1到𝑛，满足对任意三个顶点𝐴，𝐵，𝐶，如果𝐴𝐵=𝐴𝐶，那么顶点𝐴上写的数字同时大于或同时小于顶点𝐵和𝐶上写的数字．

求证：无法在8×8的方格中填入1到64（每个数字只用一次），使得对每个2×2的方格，其对角线上两个数字乘积之差均等于1．

对正整数𝑘，记𝑓(𝑘)为满足𝑘𝑚除以2019^(3)的余数大于𝑚的正整数𝑚的个数．问：𝑓(1)，𝑓(2)，⋯，𝑓(2019^(3))中有多少个不同的数？

给定正整数𝑛，正整数𝑚>𝑛，已知集合𝑀={𝑛,𝑛+1,⋯,𝑚}能被划分为若干个子集，使得在每个子集中，存在一个数等于该子集中其余所有数之和，求𝑚的最小值．

设𝑁为正整数，正整数数列𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑁)中每一项均不为2^(𝑁+1)的倍数．对𝑛≥𝑁+1，定义𝑎_(𝑛)如下：设在𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛−1)中，除以2^(𝑛)余数最小的那一项为𝑎_(𝑘)，令𝑎_(𝑛)=2𝑎_(𝑘)（如果有多个满足条件的𝑎_(𝑘)，则取下标最大的那一项）．求证：存在𝑀，使得对于任意𝑛≥𝑀，都有𝑎_(𝑛)=𝑎_(𝑀)．

称正整数𝑥“远离平方数和立方数”的，如果对于任意整数𝑘，都有|𝑥−𝑘^(2)|>10^(6)，|𝑥−𝑘^(3)|>10^(6)．求证：存在无穷多个正整数𝑛，使得2^(𝑛)“远离平方数和立方数”．

设多项式公式：P(x)=a_dx^d+a_{d-1}x^{d-1}+\cdots+a_2x^2+a_0的所有系数均为正整数，且次数𝑑≥2．数列{𝑏_(𝑛)}满足：𝑏_(1)=𝑎_(0)，𝑏_(𝑛+1)=𝑃(𝑏_(𝑛))．求证：对于任意正整数𝑛≥2，存在素数𝑝满足𝑝∣𝑏_(𝑛)，𝑝∤𝑏_(1)𝑏_(2)⋯𝑏_(𝑛−1)．

𝑃(𝑥)为一个非常数整系数多项式，𝑛为正整数．数列𝑎_(0)，𝑎_(1)，⋯定义如下：𝑎_(0)=𝑛，对𝑘≥1，𝑎_(𝑘)=𝑃(𝑎_(𝑘−1))．已知对于任意正整数𝑏，数列中均存在某个大于1的整数的𝑏次方．求证：deg𝑃=1．

礼堂的第一排有330个座位，其中有25个座位已被观众占据．证明：在这些观众两两之间的距离中，必有两个相等．

正整数𝑛≥2，给定𝑛个互异的正整数𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)，其中每个都不是完全立方数．问：这些数两两的乘积中，最多有多少个完全立方数？

求证：可以将任意非完全平方数的所有正因子组成的集合划分为若干子集，使得每个子集中的任意两个数都存在整除关系．

是否存在互异的正整数𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(101)，𝑏_(1)，𝑏_(2)，⋯，𝑏_(101)，满足对于{1,2,⋯,101}的任意非空子集𝑆，∑_(𝑖∈𝑆)𝑎_(𝑖)整除101!+∑_(𝑖∈𝑆)𝑏_(𝑖)．

给定正整数𝑚，𝑛，使得𝑚>𝑛^(𝑛−1)，且𝑚+1，𝑚+2，⋯，𝑚+𝑛均为合数．求证：存在互异的素数𝑝_(1)，𝑝_(2)，⋯，𝑝_(𝑛)，使得对任意正整数𝑘=1,2,⋯,𝑛，都有𝑝_(𝑘)∣𝑚+𝑘．