2023年香港IMO代表队第二次选拔考试试题

第一次考试题见：【勘误】2023年香港IMO代表队第一次选拔考试试题

1. 给定一个24×24的正方形网格，起初里面的每一个方格都是白色的．每次操作可以选择其中任意一行或者一列，并改变这一行（列）中所有方格的颜色（黑变为白，白变为黑）．能否在有限次操作后，使得网格中恰有574个黑色方格？

2. 给定△𝐴𝐵𝐶，∠𝐶𝐴𝐵=75^(∘)，∠𝐴𝐶𝐵=45^(∘)．延长𝐵𝐶到点𝑇，使𝐵𝐶=𝐶𝑇．设𝐴𝑇中点为点𝑀．求∠𝐵𝑀𝐶．

3. 设正整数𝑛≥4．考虑由𝑛个不同实数组成的集合𝐴，满足以下条件：对任意𝑎∈𝐴，存在不同元素𝑥，𝑦，𝑧∈𝐴，使得|𝑥−𝑎|，|𝑦−𝑎|，|𝑧−𝑎|≥1．对任意𝑛，求最大的实数𝑀，使得∑_(𝑎∈𝐴)|𝑎|≥𝑀．

4. 称一个两位数𝑠是“特别的”，如果𝑠是4^(𝑛)和5^(𝑛)十进制表示下相同的前两位数，其中𝑛为一个确定的正整数．已知一共有2个“特别的”数，求出这2个数．