代数高等数学
一道复数题的线代背景
正文文字 21 字公式 12 处
假设𝑎，𝑏，𝑐，𝑑∈ℂ，且|𝑎|^(2)+|𝑏|^(2)=|𝑐|^(2)+|𝑑|^(2)=1，𝑎𝑐^(¯)+𝑏𝑑^(¯)=0．求证：𝑎𝑏^(¯)+𝑐𝑑^(¯)=0．
证明：
记𝑋=(𝑎 𝑏;𝑐 𝑑;)．由于
公式：\begin{align*}
XX^H=&\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ll}\bar{a} & \bar{c} \\ \bar{b} & \bar{d}\end{array}\right)\\
=&\left(\begin{array}{ll}a\bar{a}+b\bar{b} & a\bar{c}+b\bar{d} \\ c\bar{a}+d\bar{b} & c\bar{c}+d\bar{d}\end{array}\right)\\
=&\left(\begin{array}{ll}|a|^2+|b|^2 & a\bar{c}+b\bar{d} \\ \overline{a\bar{c}+b\bar{d}} & |c|^2+|d|^2\end{array}\right)\\
=&I_2
\end{align*}于是𝑋为酉矩阵．因此
公式：\begin{align*}
I_2=X^HX=\left(\begin{array}{ll}|a|^2+|b|^2 & \overline{a\bar{b}+c\bar{d}} \\ a\bar{b}+c\bar{d} & |c|^2+|d|^2\end{array}\right)
\end{align*}即𝑎𝑏^(¯)+𝑐𝑑^(¯)=0，证毕．
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