两道条件为x+y+z=xy+yz+zx的不等式

今天，在不等式爱好者群中，吴老师问了如下不等式：

实数𝑥，𝑦，𝑧满足𝑥+𝑦+𝑧=𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥．证明：

公式：\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\ge -\frac{1}{2}.

以下为我的证明：

引理：

若𝑥+𝑦+𝑧=𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥，则(𝑦+𝑧)(𝑦𝑧+1)、(𝑧+𝑥)(𝑧𝑥+1)、(𝑥+𝑦)(𝑥𝑦+1)中至少有一个非负．

引理的证明：

反证．否则(𝑦+𝑧)(𝑦𝑧+1)、(𝑧+𝑥)(𝑧𝑥+1)、(𝑥+𝑦)(𝑥𝑦+1)均为负数．对𝑥+𝑦、𝑦+𝑧、𝑧+𝑥的正负分类讨论：

(1)𝑥+𝑦、𝑦+𝑧、𝑧+𝑥均为非负．则𝑦𝑧+1、𝑧𝑥+1、𝑥𝑦+1均为负数．此时

公式：\begin{align*} 0\leq &(x+y)+(y+z)+(z+x)\\ =&2(xy+yz+zx)<-6 \end{align*}

矛盾．

(2)𝑥+𝑦、𝑦+𝑧、𝑧+𝑥中恰有一个为负数．不妨设𝑦+𝑧<0．则

即𝑥>0．且𝑥𝑦+1<0，𝑥𝑧+1<0．故𝑦<0，𝑧<0．设𝑦=−𝑎，𝑧=−𝑏．（𝑎，𝑏>0）

则𝑥+𝑦=𝑥−𝑎≥0，即𝑥≥𝑎．

𝑥𝑦+1=1−𝑎𝑥<0，即𝑎>(1)/(𝑥)．

于是𝑥≥𝑎>(1)/(𝑥)，同理𝑥≥𝑏>(1)/(𝑥)，于是𝑥>1．

而由𝑥+𝑦+𝑧=𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥知𝑥=(𝑎𝑏+𝑎+𝑏)/(𝑎+𝑏+1)．

公式：x\ge a\Rightarrow ab+a+b\ge a^2+ab+a\Rightarrow b\ge a^2

公式：x\ge b\Rightarrow ab+a+b\ge ab+b^2+b\Rightarrow a\ge b^2

三式相乘得𝑎^(2)𝑏^(2)>𝑎^(2)𝑏^(2)，矛盾．

(3)𝑥+𝑦、𝑦+𝑧、𝑧+𝑥中恰有两个为负数．不妨设𝑦+𝑧<0，𝑧+𝑥<0．则

即𝑧<0．

由𝑥+𝑦≥0知𝑥𝑦+1<0，即𝑥𝑦<0，由对称性不妨设𝑦>0，𝑥<0．设𝑥=−𝑎，𝑧=−𝑏（𝑎，𝑏>0）．

由𝑦𝑧+1≥0，𝑥𝑦+1<0知：𝑏≤(1)/(𝑦)<𝑎．

由𝑦+𝑧<0，𝑥+𝑦≥0知：𝑎≤𝑦<𝑏．

两式相乘得𝑎𝑏<𝑎𝑏，矛盾．

(4)𝑥+𝑦、𝑦+𝑧、𝑧+𝑥均为负数．则𝑥，𝑦，𝑧均为负数．此时

公式：\begin{align*} 0>&(x+y)+(y+z)+(z+x)\\ =&2(xy+yz+zx)>0 \end{align*}

矛盾．

引理得证．

回到原题

由引理不妨设(𝑦+𝑧)(𝑦𝑧+1)≥0．于是

公式：\begin{align*} &\sum\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{1}{2}\\ =&\dfrac{(x+1)^2}{2(x^2+1)}+\dfrac{y}{y^2+1}+\dfrac{z}{z^2+1}\\ \ge&\dfrac{y}{y^2+1}+\dfrac{z}{z^2+1}\\ =&\dfrac{(y+z)(yz+1)}{(y^2+1)(z^2+1)}\\ \ge&0 \end{align*}

2019 年伊朗 IMO 代表队选拔考试中有一道与此类似的题：

实数𝑥，𝑦，𝑧满足𝑥+𝑦+𝑧=𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥．证明：

∑(𝑥)/(√(𝑥^(4)+𝑥^(2)+1))≥−(√(3))/(3)

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解答如下：