2022年匈牙利Kürschák József数学竞赛

匈牙利是数学竞赛的发源地，而Kürschák József数学竞赛是全球范围内历史最悠久的数学竞赛．

1. 将一个正方形划分为2022个矩形，其中任意两个矩形在正方形内部没有公共顶点．由这些矩形的边能组成多少条不同长度的线段？

2. 设𝑝和𝑞均为4𝑘+3型的素数．假设存在非零整数𝑥和𝑦满足𝑥^(2)−𝑝𝑞𝑦^(2)=1．求证：存在正整数𝑎和𝑏满足|𝑝𝑎^(2)−𝑞𝑏^(2)|=1．

3. 𝑛^(2)个实数𝑎_(𝑖,𝑗)（1≤𝑖≤𝑛，1≤𝑗≤𝑛）满足对任意𝑖和𝑗，𝑎_(𝑖,𝑗)+𝑎_(𝑗,𝑖)=0（特别地，对任意𝑖，𝑎_(𝑖,𝑖)=0）．求证：

公式：{1\over n}\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n} a_{i,j}\right)^2\leq{1\over2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{i,j}^2.