2025年匈牙利Kurschak数学竞赛

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1. 第 1 题　给定正整数 $n$，将数 $0,1,\dots,n-1$ 以某种顺序写在白板上。若较大的数排在较小的数之前，则称这两个数构成一个“逆序”。若数 $k$ 恰好与 $k$ 个其他数构成逆序，则称 $k$ 为“特殊数”。问：白板上最多能有多少个特殊数？
2. 第 2 题　本题中的数均以十进制书写，允许数的首位为 0。若一个位数为偶数的整数满足：将其分割为长度相同的两段后，两段之和的平方恰好等于原数，则称这个数为“可分割数”。例如，$2025=(20+25)^2$、$0001=(00+01)^2$ 都是 4 位可分割数。求证：对任意正整数 $n$，$2n$ 位可切分数的个数一定是 2 的幂。
3. 第 3 题　平面上有有限个点，且任意三点不共线。证明：可以用两种颜色给这些点染色，使得不存在一个半平面，其内部恰好包含三个点，且这三个点颜色相同。