2026年美国数学奥林匹克（初级组）

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1. 第一天第 1 题　设 $a,b,c$ 为不同的正整数，满足 $ab+c=c^2$。求证：$(a-b)^2\ge 4c$。
2. 第一天第 2 题　有 $m$ 只狐狸和 $n$ 只兔子坐在圆桌周围的 $m+n$ 个座位上，所有动物都是可区分的。若一只狐狸与一只兔子相邻，它们就可以互相交换位置。对于一个固定的初始排布，求：通过有限次这样的交换，一共能够到达多少种不同的排布。注：一个排布的旋转与对称，均被视为不同的排布。
3. 第一天第 3 题　设 $\triangle ABC$ 是一个非等腰的锐角三角形，且没有内角等于 $60^\circ$。设 $\omega$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆，$\Delta_B$ 是三个顶点均在 $\omega$ 上、且其中一个顶点为 $B$ 的等边三角形，$\ell_B$ 是过 $\Delta_B$ 中除 $B$ 以外另外两个顶点的直线。类似定义 $\Delta_C$ 与 $\ell_C$。设 $Y$ 为直线 $AC$ 与 $\ell_B$ 的交点，$Z$ 为直线 $AB$ 与 $\ell_C$ 的交点。设 $\triangle AYZ$ 的外接圆与 $\omega$ 的另一个交点为 $P$（异于 $A$），$BC$ 交 $YZ$ 于点 $D$，$PA$ 交 $YZ$ 于点 $E$。求证：$PD=PE$。
4. 第二天第 4 题　$\triangle ABC$ 的外接圆为 $\omega$，外心为 $O$。直线 $AO$ 交 $BC$ 于点 $D$。点 $X$ 为 $\triangle ABD$ 的 $A$-旁心，点 $Y$ 为 $\triangle ACD$ 的 $A$-旁心。求证：若点 $X$ 在 $\omega$ 上，则点 $Y$ 也在 $\omega$ 上。
5. 第二天第 5 题（同 USAMO 第 4 题）　称正整数 $n$ 是“孤独的”，如果对任意非负整数 $a,b$，若 $a+b=n$，则 $a$ 或 $b$ 含数码 1。求小于 $10^{2026}$ 的数中“孤独的”数的个数。
6. 第二天第 6 题　埃米莉有一张红色的纸，纸上画有 2026 个圆，这些圆的大小不必相等。她从中选定一个圆涂成黑色，再沿所有圆的圆周将纸剪开。试问：是否有可能让所有黑色区域都彼此全等？（已知黑色纸片至少有两块）