2023年美国第四届圣诞数学奥林匹克

这是aops上圣诞节讨论组举办的一系列比赛之一，CIME是AIME的模拟赛，CAMO是USAMO的模拟赛，CJMO是USAJMO的模拟赛。

点击阅读原文可查看英文原文及试题解析。

高级组（CAMO）

第一天

1. 在一个谷仓里，有100只小鸡在一个圆周上和平地坐着．起初，每只小鸡面对的是她左边或右边的小鸡中的一只．突然间，每只小鸡开始转向另一侧的邻居（以可能不同的非负速度），直到它们彼此相对为止．如果两只小鸡在某个时刻同时面对彼此，则它们会进行眼神接触．在这个过程中（包括开始和结束时），最多可能有多少对小鸡进行眼神接触？

2. 设圆𝜔_(1)和𝜔_(2)相交于𝐴、𝐵两点．点𝐶在𝜔_(1)上，点𝐷在𝜔_(2)上，满足𝐴𝐷和𝐵𝐶平行．直线𝐴𝐶和𝐵𝐷交于点𝑆，且点𝑆在𝜔_(1)和𝜔_(2)的外部．求证：存在点𝑈∈𝜔_(1)，点𝑉∈𝜔_(2)，使得𝑆𝑈和𝜔_(1)相切，𝑆𝑉和𝜔_(2)相切，且直线𝐴𝐵平分线段𝑈𝑉．

3. 称一个多项式为“二进制的”，如果其所有系数均为0或1．设整系数多项式𝑃(𝑥)，𝑄(𝑥)，𝑅(𝑥)满足𝑅(𝑥)=𝑥^(𝑛)⋅𝑄(1/𝑥)，其中𝑛为某个整数．求证：若𝑃(𝑥)⋅𝑄(𝑥)是二进制的，则𝑃(𝑥)⋅𝑅(𝑥)也是二进制的．

第二天

4. 设𝑐为整数．求证：只存在有限多个正整数组(𝑎,𝑏)，使得

5. 求所有函数𝑓：ℂ→ℂ，满足：

• 只存在有限多个复数𝑥，使得𝑓(𝑥)=0；
• 对所有满足𝑓(𝑥)=𝑦𝑧的复数𝑥，𝑦，𝑧，都有𝑧𝑓(𝑥+𝑦)=𝑦𝑓(𝑥+𝑧)．

6. 设P是一个凸多边形，2P是与P相似，且相似比为2的多边形．求证：可以用七个P覆盖2P．（多边形包含其内部和边界）

初级组（CJMO）

第一天

1. 求所有三元正整数组(𝑎,𝑏,𝑝)，𝑝为素数，使得

2. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐻为垂心．设点𝑁为弧𝐴𝐻𝐶的中点（在△𝐴𝐻𝐶的外接圆上），𝐷为𝐴𝐵上一点，满足𝐷𝑁平行于𝐴𝐶，𝐸为𝐷关于𝐴𝐻的对称点．求证：∠𝐷𝐻𝐵和∠𝐸𝑁𝐶相等或互补．

3. 同高级组第1题

第二天

4. 设𝐴、𝐵为圆𝜔上两个定点，圆心为𝑂，𝑋为线段𝐴𝐵上一个动点．△𝐴𝑋𝑂的外接圆和以𝑋为圆心，且过点𝐵的圆交于𝑃、𝑄两点．求证：直线𝑃𝑄过定点．

5. 求所有正合数𝑛，使得能将𝑛的所有约数按照某种方式排列成𝑑_(1)，𝑑_(2)，⋯，𝑑_(𝑘)，满足

公式：\gcd(d_1,d_2,d_3)=\gcd(d_2,d_3,d_4)=\cdots=\gcd(d_k,d_1,d_2)=1

6. 同高级组第5题