2023年乌克兰数学奥林匹克

八年级组

第一天

1. Oleksiy在8×8棋盘的每一格中各写入一个正整数．对于每一对相邻的格子，Fedir写下它们内数字的积，并将所有积相加．而Oleksiy则写下每一对相邻格子内数字的和，并将所有和相乘．结果发现这两个数的个位数字都是1．证明至少有一个人算错了．
   例如，对于3×3的正方形，给出数字排列如下．则Fedir写下的数字为：公式：2,6,8,20,28,35,3,5,4,7,8,21，它们的和的个位数字为6；Oleksiy写下的数字为：5,10,13,9,12,14,4,6,11,15，它们的积的个位数字为0．

2. 某个国家中举办了一场网球单循环比赛（每个人正好与所有其他人各打一次）．获胜者得1分，失败者得0分，没有平局．在比赛结束后，Oleksiy看到了每个参赛选手的得分，以及整个比赛的赛程安排，其中显示了每场比赛的对手，但没有显示胜利者．他可以按任意顺序选择比赛并尝试猜出胜者，此后会告知他是否猜对．证明：Oleksiy可以采取某种策略，使他保证能够猜对超过半数的比赛胜利者．

3. 正整数𝑥，𝑦满足

   公式：{\sqrt{x^2+2y}}>\frac{2}{3},{\sqrt{y^2+2x}}>\frac{2}{3}

   求证：𝑥=𝑦．
   注：{𝑥}表示𝑥的小数部分．例如：{3.14}=0.14．

4. 在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷所在平面内取一点𝑇，使得∠𝐴𝑇𝐶+∠𝐵𝑇𝐷=180^(∘)，且三角形 𝐴𝑇𝐶 和 𝐵𝑇𝐷 的外接圆相切．证明：𝑇到菱形两条对角线的距离相等．

第二天

5. 是否存在10个不全相等的实数，使得每一个数都等于其余9个数的平方和？

6. 凸五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸满足𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐵𝐶∥𝐷𝐸，∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐴𝐸𝐷．求证：𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝐶𝐷+𝐷𝐸．

7. 某国有𝑛个机场，其中𝑛≥3，一些机场之间有双向航班．每天政府会关闭一个出发航班数量最多的机场。这个过程最多可以进行多少天？

8. 给定一个𝑚元整数集，对于某个正整数𝑛，这些整数模𝑛的余数互不相同．证明：对于任意𝑘≤𝑚，都可以将这个集合划分成𝑘个非空子集，使得每个子集中元素的和模𝑛的余数互不相同．

九年级组

第一天

1. 有𝑛≥4个实数排在一个圆周上．已知对于任意四个按顺序排列在圆周上的实数 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑，都有𝑎+𝑑=𝑏+𝑐．求𝑛的取值，使得所有圆周上的数字都相等．

2. 正整数𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(101)满足：对任意1≤𝑖≤101，都有𝑎_(𝑖)+1能被𝑎_(𝑖+1)整除，其中𝑎_(102)=𝑎_(1)．求max{𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(101)}的最大可能值．

3. 锐角△𝐴𝐵𝐶的外接圆为𝜔．在𝐴𝐶上取点𝐹，在𝐴𝐵上取点𝐸，在𝜔上取点𝑃,𝑄，使得公式：\angle AFB=\angle AEC=\angle APE=\angle AQF=90^\circ．求证：直线𝐵𝐶,𝐸𝐹,𝑃𝑄共点或平行．

4. 求最小的实数𝐶，使得对任意正整数𝑥≠𝑦，都有

   公式：\min\left({\sqrt{x^2+2y}},{\sqrt{y^2+2x}}\right)< C

   注：{𝑥}表示𝑥的小数部分．例如：{3.14}=0.14．

第二天

5. （同八年级组第5题）是否存在10个不全相等的实数，使得每一个数都等于其余9个数的平方和？

6. 点𝑂在△𝐴𝐵𝐶内部，满足∠𝐵𝑂𝐶=90^(∘)−∠𝐵𝐴𝐶．𝐵𝑂交𝐴𝐶于点𝐾，𝐶𝑂交𝐴𝐵于点𝐿．点𝐾_(1),𝐿_(1)分别在线段𝐶𝐿,𝐵𝐾上，满足𝐾_(1)𝐵=𝐾_(1)𝐾，𝐿_(1)𝐶=𝐿_(1)𝐿．𝑀为𝐵𝐶中点，求证：∠𝐾_(1)𝑀𝐿_(1)=90^(∘)．

7. 给定𝑛≥2个不同的正整数．如果其中两个整数之和是2的非负整数次幂，则称这一对整数是优美的．对于任意的𝑛，求优美数对个数的最大可能值．

8. 如果存在唯一的方式将2𝑛个节点分成𝑛对，使得每一对中的两个节点之间有边相连，则在这样一个图中，边数可能的最大值是多少？

十年级组

第一天

1. 求所有正整数𝑘，使得存在连续的𝑘个正整数的乘积的个位数字为𝑘．

2. 在一个100×300的矩形棋盘上，两个人轮流着给未被涂色的格子涂色．第一个人用黄色，第二个人用蓝色．当所有格子都被涂色时，涂色过程结束．一个连通的格子序列是指这样一串格子：其中每两个相邻的格子有一个公共的边（且序列中所有格子都不同）．考虑所有可能的黄色连通格子序列．第一个玩家的成绩是最长的黄色连通格子序列的长度，第一个玩家的目标是使自己的成绩尽可能大，第二个玩家的目标则是尽可能地减小第一个玩家的成绩．证明：如果每个玩家都试图达到自己的目标，则第一个玩家的成绩不会超过200．

3. 设𝐼是三角形𝐴𝐵𝐶的内心，𝑃是其外接圆上弧𝐵𝐴𝐶^(ˆ) 上的任意一点．在三角形𝐴𝑃𝐼的外接圆𝜔于点𝐼处的切线上取点𝐾和𝐿，满足𝐵𝐾=𝐾𝐼且 𝐶𝐿=𝐿𝐼．证明：三角形𝑃𝐾𝐿的外接圆与圆 𝜔相切．

4. 设无穷实数列{𝑥_(𝑛)}的每一项均在(0,1)内．定义无穷正整数列{𝑎_(𝑛)}如下：𝑎_(1)=1，对于𝑖≥1，𝑎_(𝑖+1)为满足[𝑥_(1)+𝑥_(2)+⋯+𝑥_(𝑚)]=𝑎_(𝑖)的最小正整数 𝑚．证明：对于任意的𝑖,𝑗，都有 𝑎_(𝑖+𝑗)≥𝑎_(𝑖)+𝑎_(𝑗)．

第二天

5. （同八年级组第6题）凸五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸满足𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐵𝐶∥𝐷𝐸，∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐴𝐸𝐷．求证：𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝐶𝐷+𝐷𝐸．

6. 设𝑃(𝑥)、𝑄(𝑥)和𝑅(𝑥)为整系数多项式，满足𝑃(𝑥)=𝑄(𝑥)𝑅(𝑥)．令𝑎和𝑏分别为𝑃和𝑄的系数的绝对值中的最大值．那么𝑏≤2023𝑎是否总是成立？

7. 已知𝑛≥2个不同的正整数．对于其中任意一对𝑎<𝑏，Vlada在黑板上写下了2的最大幂次，该幂次能够整除𝑏−𝑎．Vlada最多能写下多少个不同的2的幂次？

8. 考虑一个有4046个节点的完全图，它的边被染成一些不同的颜色．如果我们能够将所有节点分成2023对，使得连接同一对中的节点的2023条边的颜色恰好为𝑘种，则称这个图是𝑘-好的。那么这个图是否可能既是999-好的又是1001-好的，但不是1000-好的？

十一年级组

第一天

1. 集合𝑀包含𝑛个不小于2的正整数．已知对于任意的不同的𝑎,𝑏∈𝑀，𝑎^(2)+1均是𝑏的倍数．𝑛的最大可能值是多少？

2. 在平面上选择2022个点𝐴_(1)，𝐴_(2)，⋯，𝐴_(2022)，使得它们中任意三个不共线．考虑所有由不同的三个点𝐴_(𝑖)、𝐴_(𝑗)、𝐴_(𝑘)组成的∠𝐴_(𝑖)𝐴_(𝑗)𝐴_(𝑘)．其中最多有多少个角是直角？

3. 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶𝐷𝐴=90^(∘)．设𝑃=𝐴𝐶∩𝐵𝐷，𝑄=𝐴𝐵∩𝐶𝐷，𝑅=𝐴𝐷∩𝐵𝐶．设ℓ是三角形𝑃𝑄𝑅的中位线，且平行于𝑄𝑅．证明：由直线𝐴𝐵、𝐴𝐷、ℓ所围成的三角形的外接圆与由直线𝐶𝐷、𝐶𝐵、ℓ所围成的三角形的外接圆相切．

4. 求所有函数𝑓：ℝ→ℝ，使得对任意实数𝑥，𝑦，都有

   公式：f(x+yf(x+y))=f(y^2)+xf(y)+f(x)

第二天

5. 如果一个多项式同时具有正系数和负系数（0不被视为正或负），则称其为“混合多项式”．两个混合多项式的乘积是否总是混合多项式？

6. 设点𝐾为△𝐴𝐵𝐶的中线𝐴𝑀的中点．点𝑋在𝐴𝐵上，满足∠𝐾𝑋𝑀=∠𝐴𝐶𝐵，𝐴𝑋>𝐵𝑋；点𝑌在𝐴𝐶上，满足∠𝐾𝑌𝑀=∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝑌>𝐶𝑌．求证：𝐵,𝐶,𝑋,𝑌四点共圆．

7. 考虑正整数𝑛的所有约数1=𝑑_(1)<𝑑_(2)<⋯<𝑑_(𝑘)=𝑛．对2≤𝑖≤𝑘−1，称约数𝑑_(𝑖)是好的，如果𝑑_(𝑖−1)𝑑_(𝑖+1)不能被𝑑_(𝑖)整除．求所有的𝑛，使得其好的约数个数小于其不同的质因子个数．

8. 某个国家有2024个城市，每两个城市之间都通过铁路、航空或公路这三种交通方式中的一种来进行双向连接．一个旅游者到达了这个国家，并掌握了整个交通方案．他选择了一种交通方式的旅行票，并选择了出发旅行的城市．他希望尽可能多地访问城市，但只能使用指定类型的交通方式的票．无论如何，该旅游者总能访问至少𝑘个城市，请问𝑘的最大值是多少？在旅途中，他可以回到已经访问过的城市．