2022年基辅市数学奥林匹克（第一轮）

七年级组

1. 将(1)/(2021)表示为分母较小的两个既约分数之差．
2. 有𝑛根具有不同整数长度的棍子，从中任意选择3根均能构成一个非退化三角形．已知其中有长度为5和12的棍子，求𝑛的最大值．
3. 给定𝑛个实数𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)（可以相同）．考虑由这些数构成的所有2^(𝑛)−1个非空集合，并计算每个集合中所有元素之和．求元素和等于1的集合个数的最大值．
   例如：如果给定的实数为−1，2，2，在元素和中，3出现一次，4出现一次，2出现两次，−1出现一次，1出现两次．故元素和等于1的集合个数为2．
4. 在某个神奇的国家，只有面值为3，25和80元的钞票．商人Victor在一家餐馆连续吃了2024天，且从第二天起，每天恰好比前一天多花1元钱（没有找零）．他是否能恰好使用1000000张钞票？

八年级组

1. 考虑5个互异的正整数．它们的平均数是否能：
   (1)恰好比它们的最大公约数大3倍？
   (2)恰好比它们的最大公约数大2倍？
2. 同七年级组第3题
3. 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵>90^(∘)．其外接圆在点𝐴和点𝐵处的切线相交于点𝑃，过𝐵作𝐵𝐶的垂线交𝐴𝐶于点𝐾．求证：𝑃𝐴=𝑃𝐾．
4. 在1到2022中，最多能取多少个整数，使得任意两个所选的不同整数之和均能被任意两个所选的不同整数之差整除？
5. 2022支队伍参加了一场水下马球锦标赛，每两支队伍只交手一次．胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．比赛结束后，所有队伍的得分互不相同．在最终积分榜上，各队按总积分排序．
   几天后，主办方意识到，由于技术问题，最终积分榜上的结果有误．每场按照他们所说的平局结束的比赛实际上都有一个胜者，而每场有胜者的比赛实际上都以平局结束．主办方更正了积分榜，并按总积分排序．此时，所有队伍的得分仍互不相同．
   问：正确的排序能否和原来错误的排序恰好相反？

九年级组

1. 对任意正实数𝑥，𝑦，求((𝑥+𝑦+|𝑥−𝑦|)^(2))/(𝑥𝑦)的最小值．
2. 对任意实数𝑥，𝑦，求证：

公式：\begin{aligned} &\sqrt{(x+4)^2 + (y+2)^2} + \sqrt{(x-5)^2 + (y+4)^2}\\ \leq& \sqrt{(x-2)^2 + (y-6)^2} + \sqrt{(x-5)^2 + (y-6)^2} + 20 \end{aligned}

3. 𝐴𝐿为△𝐴𝐵𝐶的内角平分线．以𝐵为圆心，𝐵𝐿为半径的圆交射线𝐴𝐿于点𝐿和点𝐸，以𝐶为圆心，𝐶𝐿为半径的圆交射线𝐴𝐿于点𝐿和点𝐷．求证：𝐴𝐿^(2)=𝐴𝐸×𝐴𝐷．
4. 若对任意素数𝑝，都有𝑝^(2)∤𝑛，则称正整数𝑛是平方自由的．给定一个平方自由的数𝑛>1，且𝑛有𝑑个正因子．最多能选择多少个𝑛的正因子，使得在所选的数中任取𝑎和𝑏，都有𝑎^(2)+𝑎𝑏−𝑛不为完全平方数．
5. 𝑛≥2支队伍参加了一场水下马球锦标赛，每两支队伍只交手一次．胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．比赛结束后，所有队伍的得分互不相同．在最终积分榜上，各队按总积分排序．
   几天后，主办方意识到，由于技术问题，最终积分榜上的结果有误．每场按照他们所说的平局结束的比赛实际上都有一个胜者，而每场有胜者的比赛实际上都以平局结束．主办方更正了积分榜，并按总积分排序．此时，所有队伍的得分仍互不相同．
   问：正确的排序能否和原来错误的排序恰好相反？

十年级组

1. 是否存在二次三项式𝑎𝑥^(2)+𝑏𝑥+𝑐，其中𝑎，𝑏，𝑐为奇数，且(1)/(2022)为其一个根．
2. 给定2𝑛个互不相同的整数，求最大的整数𝐶，使得总能从中选择𝐶对数（每个整数至多在一对中），且每对整数之和为合数．
3. 圆内接四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线交于点𝑃．△𝐴𝑃𝐷的外接圆和𝐴𝐵交于另一点𝐸，△𝐵𝑃𝐶的外接圆和𝐴𝐵交于另一点𝐹．点𝑃在𝐹𝐶和𝐷𝐸上的投影分别为𝑄和𝑅．求证：𝐴𝐵//𝑄𝑅．
4. 对任意非负实数𝑥，𝑦，求证：

公式：x^2y^2+x^2y+xy^2\leq x^4y+x+y^4

5. 𝑚×𝑛（𝑚,𝑛≥3）的棋盘左下角有一个黑色棋子，右下角和左上角各有一个白色棋子．Petryk和Vasyl进行一个游戏，Petryk操作黑色棋子，Vasyl操作白色棋子，从Petryk开始．
   在每个玩家的回合中，他可以进行如下操作至多两次：选择自己的一个棋子，并将其移动至相邻单元格．若此时目标单元格已有对手的棋子，则不能进行移动．
   若两个白色棋子移动到了同一个单元格，则Vasyl获胜．对怎样的𝑚和𝑛，Petryk能阻止Vasyl获胜？

十一年级组

1. 老师在黑板上写下5个互异的实数．Petryk求出其中所有二元组的数之和，并写在黑板左侧；Vasyl求出其中所有三元组的数之和，并写在黑板左侧（每人写了10个数字）．Petryk和Vasyl所写的数字构成的重集是否能相同？
2. 同十年级组第2题
3. △𝐴𝐵𝐶的外心为𝑂，垂心为𝐻．𝑂𝐻交𝐴𝐵于点𝑋，交𝐴𝐶于点𝑌，且点𝐻在线段𝑂𝑋上．已知𝑋𝐻=𝐻𝑂=𝑂𝑌．求∠𝐵𝐴𝐶．
4. 给定𝑛≥4个正实数．已知其(𝑛(𝑛−1))/(2)个两两的乘积能按照某种顺序排列成等差数列，求证：这𝑛个正实数全部相等．
5. 求最小的正整数𝑛，使得能将一个矩形分割成两种形状的2𝑛个矩形，每种形状的矩形各𝑛个．