2021年基辅数学节

八年级组

1. 求方程

   公式：(3a-bc)(3b-ac)(3c-ab)=1000

   的整数解．
2. 在一个方形网格的11个单元格中，各有一只刺猬．每只刺猬都将其所在行内的刺猬个数除以其所在列内的刺猬个数．问：每只刺猬是否能得到不同的数字？
3. 设𝜔为△𝐴𝐵𝐶（𝐴𝐵>𝐴𝐶）的外接圆，𝐸为弧𝐴𝐶（不含点𝐵）的中点，𝐹为弧𝐴𝐵（不含点𝐶）的中点．𝐴𝐹和𝐵𝐸交于点𝑃，𝐶𝐹和𝐴𝐸交于点𝑅，𝜔在𝐴处的切线和𝐵𝐶交于点𝑄．求证：𝑃，𝑄，𝑅三点共线．
4. 求所有由63个整数构成的可重集合，使得其中每一个数的平方等于其余所有数之和，且其中的数不全相等．
5. Bilbo用如下方式构造了一个由0和1组成的数字三角形：首先将任意𝑛个数（0或1）写在最上面一行，在其它行中，在连续两个相同数字的下方写数字0，在连续两个不同数字的下方写数字1．（下图为𝑛=5的三角形示例．）𝑛=100时，Bilbo有多少种方法写第一行的数，使得此三角形的每一行均含有偶数个1？

九年级组

1. 平面上是否存在四个点，使得每一点与其它三点之间的距离成等差数列？
2. 在一个方形网格的若干个单元格中，各有一只刺猬．每只刺猬都将其所在行内的刺猬个数乘以其所在列内的刺猬个数．问：每只刺猬是否能得到不同的数字？
3. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为高，𝐴𝐸为中线，𝑂为外心．点𝑋和点𝑌在△𝐴𝐵𝐶内部，且满足∠𝐵𝐴𝑋=∠𝐶𝐴𝑌，𝑂𝑋⊥𝐴𝑋，𝑂𝑌⊥𝐴𝑌．求证：𝐷，𝐸，𝑋，𝑌四点共圆．
4. 同八年级组第4题．
5. Frodo用如下方式构造了一个由0和1组成的数字三角形：首先将任意𝑛个数（0或1）写在最上面一行，在其它行中，在连续两个相同数字的下方写数字0，在连续两个不同数字的下方写数字1．（下图为𝑛=5的三角形示例．）𝑛=100时，Bilbo有多少种方法写第一行的数，使得此三角形的每一行均含有奇数个1？

十年级组

1. 同九年级组第1题．
2. 设𝑎,𝑏,𝑐≥0，且𝑎+𝑏+𝑐=3．求证：

   公式：(3a-bc)(3b-ac)(3c-ab)\leq 8．
3. 是否对于任意的𝑛≥2021，均存在𝑛个整数，使得其中每一个数的平方等于其余所有数之和，且其中的数不全相等．
4. 同九年级组第5题．
5. 设𝜔为△𝐴𝐵𝐶（𝐴𝐵≠𝐴𝐶）的外接圆，𝐼为内心．𝑃为𝜔上一点使得∠𝐴𝑃𝐼=90^(∘)，𝑆为𝐴𝑃和𝐵𝐶的交点，𝑊为𝐴𝐼和𝜔的另一个交点．过𝑊作𝐴𝑊的垂线与𝐴𝑃交于点𝐷，与𝐵𝐶交于点𝐸．求证：𝑆𝐷=𝐼𝐸．