2020年阿拉伯数学奥林匹克

1. (a) 𝑥，𝑦，𝑧，𝑡为正实数，满足𝑥𝑦𝑧𝑡=1．求证：

   (1)/(1+𝑥)+(1)/(1+𝑦)+(1)/(1+𝑧)+(1)/(1+𝑡)≥1．

(b) 对于任意正实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，求证：

1. 公式：\dfrac{a^2}{a^2+bc}+\dfrac{b^2}{b^2+cd}+\dfrac{c^2}{c^2+da}+\dfrac{d^2}{d^2+ab}\leq 3．

2. △𝐴𝐵𝐶为斜三角形，𝐻为过顶点𝐴的高的垂足．设𝐼为𝐴𝐵中点，𝐽为𝐴𝐶中点，𝐾为𝐼𝐽中点．过点𝐾且和𝐴𝐵在点𝐼处相切的圆𝑐_(1)和过点𝐾且和𝐴𝐶在点𝐽处相切的圆𝑐_(2)交于另一点𝐾^(′)，求证：𝐻，𝐾，𝐾^(′)三点共线．

3. 五名青年𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝐸参加某个比赛，将他们按照成绩进行排名，依次为第一名到第五名．比赛前，𝑋和𝑌两人试图猜测排名．𝑋认为排名是𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸，𝑌认为排名是𝐷𝐴𝐸𝐶𝐵．比赛结束后，根据最终排名，我们发现：𝑋没有正确猜出任何参与者的排名，且没有正确猜出任何一对排名相邻的参与者；𝑌正确猜出两名参与者的排名，以及两对排名相邻的参与者．请给出本次比赛的五名青年的最终排名．

4. 称某个大于1的整数为“算术的”，如果它能被写成至少两个连续正整数之和．（例如：5和12是“算术的”，因为5=2+3，12=3+4+5．）

（1）证明2的任意正整数次幂都不是“算术的”；
（2）证明形如2^(𝑎)𝑝𝑎_(1)1𝑝𝑎_(2)2⋯𝑝𝑎_(𝑟)𝑟的数是“算术的”，其中𝑟≥2，𝑝_(1)，𝑝_(2)，⋯，𝑝_(𝑟)为素数，满足𝑝_(1)<𝑝_(2)<⋯<𝑝_(𝑟)，𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑟)为正整数，𝑎为非负整数；
（3）求出所有将2020写成至少两个连续正整数之和的方法．