2021年乌克兰数学奥林匹克

十年级

第一天

1. Alexey和Bogdan用两堆石头进行游戏．开始时，其中一堆中有2021块石头，第二堆是空的．从Bogdan开始，两人轮流进行操作．每次操作时，可以从其中任意一堆中捡起偶数块石头（大于零），将其中一半转移到另一堆中，另一半从游戏中移除．当某玩家无法操作时，其被判负．如果双方都尽力取胜，谁会赢得这游戏？
2. 用𝑃^((𝑛))表示所有系数为{2^(0),2^(1),⋯,2^(𝑛)}一个排列的𝑛次多项式的集合．求所有的自然数组(𝑘,𝑑)，使得存在𝑛，满足对任意多项式𝑃∈𝑃^((𝑛))，𝑃(𝑘)均能被𝑑整除．
3. 对正实数𝑎≥𝑏≥𝑐，求证：

   公式：\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{a^2+c^2}{a+c}+\dfrac{c^2+b^2}{c+b}\geq (a+b+c)+\dfrac{(a-c)^2}{a+b+c}\text{．}
4. 设△𝐴𝐵𝐶的外心为𝑂，内心为𝐼，垂心为𝐻．直线𝐴𝐼和𝐴𝐻分别交△𝐴𝐵𝐶的外接圆于另一点𝐷和𝐸．若𝑂𝐼∥𝐵𝐶，求证：△𝑂𝐼𝐻的外心在𝐷𝐸上．

第二天

5. 求所有由连续𝑛≥2个整数组成的集合{𝑎+1,𝑎+2,⋯,𝑎+𝑛}，其中𝑎∈ℤ，使得其中一个数等于其余所有数之和．
6. 圆𝜔_(1)和𝜔_(2)交于点𝑃和点𝑄，且分别于一个以𝑂为圆心的圆𝜔相切于点𝐴和点𝐵．已知𝐴，𝐵，𝑄三点共线，求证：点𝑂在∠𝐴𝑃𝐵的外角平分线上．
7. 整数数列𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(2𝑛)中，每个数字出现不超过𝑛次．求证：存在{1,2⋯,2𝑛}没有公共元素的两个严格递增的子列𝑏_(1)，𝑏_(2)，⋯，𝑏_(𝑛)和𝑐_(1)，𝑐_(2)，⋯，𝑐_(𝑛)，使得对于任意1≤𝑖≤𝑛，都有𝑎_(𝑏_(𝑖))≠𝑎_(𝑐_(𝑖))．
8. 给定一个自然数𝑛．求证：总能选取𝑛的𝜑(𝑛)+1个约数（可以相同），使得其和恰好为𝑛．（这里𝜑(𝑛)为小于𝑛且和𝑛互素的正整数个数．）

十一年级

第一天

1. 已知对于某些整数𝑎_(2021)，𝑎_(2020)，⋯，𝑎_(1)，𝑎_(0)，当𝑛为任意整数时，表达式

   公式：a_{2021}n^{2021}+a_{2020}n^{2020}+\cdots+a_1n+a_0

   均能被2021整除．是否𝑎_(2021)，𝑎_(2020)，⋯，𝑎_(1)，𝑎_(0)中的每一个数均能被2021整除？
2. 求所有自然数𝑛≥3，使得对于任意的𝑛边形，总可以选择其3个顶点，将其边界分成三部分，而这三部分的长度能构成一个三角形．
3. 同十年级第4题
4. 求所有的函数𝑓:ℝ→ℝ，使得对于任意的𝑥和𝑦，均有

   公式：f(xf(x+y))+f((x+y)f(y))=(x+y)^2\text{．}

第二天

5. 是否存在自然数(𝑚,𝑛,𝑘)，满足方程𝑚^(𝑚)+𝑛^(𝑛)=𝑘^(𝑘)？
6. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐴_(1)，𝐵𝐵_(1)，𝐶𝐶_(1)为三条高．点𝐾为点𝐵在𝐴_(1)𝐶_(1)上的投影．求证：过顶点𝐵作△𝐴𝐵𝐶的陪位中线平分线段𝐵_(1)𝐾．
7. 同十年级第8题
8. 有101个砝码，其质量都为1到2020的整数克，砝码质量可以相同．已知将这些砝码任意分成两堆时，总有一堆的总质量不超过2020．这101个砝码的总质量的最大可能值是多少？